Kezdőlap


Feladat:	508. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csonka Pál , Kántor Sándor
Füzet:	1953/november, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lineáris kongruenciák, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 508. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A szóban forgó számot $N$ -nel jelölve

\begin{matrix} N = 4 x + 3 = 9 y + 5, \end{matrix}

ahol

x

és

y

egész számok.
Nullára redukálva és

4

-gyel osztva

\begin{matrix} x - 2 y - \frac{y}{4} - \frac{1}{2} = 0. \end{matrix}

x - 2 y

egész számot

(z + 1)

-gyel jelölve és

4

-gyel szorozva

\begin{matrix} 4 (z + 1) - y - 2 = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 4 z - y + 2 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = 4 z + 2, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} N = 9 y + 5 = 9 (4 z + 2) + 5 = 36 z + 23. \end{matrix}

Ebből nyilvánvaló, hogy

N

-et

36

-tal osztva, a maradék

23

Csonka Pál (Bp. XI., József Attila g. IV. o. t.)

II. megoldás:

0

és

36

között a következő négy szám ad

5

-öt maradékul, ha

9

-cel osztjuk:

5

14

23

32

. Ezek közül azonban csak

23

tesz eleget a második követelményünknek, miszerint

4

-gyel osztva

3

-at ad maradékul.
Bármilyen szám írható ilyen alakban

\begin{matrix} N = 36 k + r, \end{matrix}

ahol

k = 0,1,2, ...

és

r = 0,1,2, ...,35

.
Mivel

36

osztható

9

-cel és

4

-gyel is, azért

N

9

-cel. ill.

4

-gyel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint

r

. Tehát

N

‐ a fentiek szerint ‐ csak úgy felelhet meg feltételeinknek. ha

r = 23

, vagyis

\begin{matrix} N = 36 k + 23. \end{matrix}

amely alakban nyilvánvaló, hogy a keresett maradék

23

Kántor Sándor (Debrecen. Ref. g. IV. n. t.)