Kezdőlap


Feladat:	507. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Bártfai P. , Beke Gy. , Beleznay F. , Biczó G. , Biró J. , Blahut J. , Csiszár Imre , Dornbach A. , Gaál I. , Grätzer Gy. , Hammer E. , Kántor S. , Keresztély S. , Kovács L. , Marik M. , Molnár I. , Németh L. , Pál E. , Pap A. , Papp Z. , Quittner P. , Rédly E. , Schmidt Eligius , Sóti F. , Szabó J. , Szakál A. , Szentai E. , Tilesch F. , Tomor B. , Zawadowski Alfréd , Zobor E.
Füzet:	1953/november, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Oszthatósági feladatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 507. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A binomiális tétel szerint

\begin{matrix} {(a + 1)}^{n} = a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} + (\binom{n}{2}) a^{n - 2} + ... + (\binom{n}{n - 2}) a^{2} + (\binom{n}{n - 1}) a + 1. \end{matrix}

A jobboldal első

n - 1

tagjából

a^{2}

-et kiemelve és

(\binom{n}{n - 1}) = n

értéket írva

\begin{matrix} {(a + 1)}^{n} = a^{2} [a^{n - 2} + (\binom{n}{1}) a^{n - 3} + ... + (\binom{n}{n - 2})] + n a + 1 = a^{2} A + a n + 1. \end{matrix}

Ezen értéket az adott kifejezésbe helyettesítve

\begin{matrix} (a n - 1) (a^{2} A + a n + 1) + 1 = a^{2} A (a n - 1) + a^{2} n^{2} - 1 + 1 = \\ = a^{2} [A (a n - 1) + n^{2}] . \end{matrix}

Az így nyert alakban bizonyítandó állításunk nyilvánvaló.

Csiszár Imre (Bp. I. Petőfi g. I. o. t.)

II. megoldás: Állításunkat teljes indukcióval igazoljuk.

n = 1

-re az állítás igaz mert

(a - 1) (a + 1) + 1 = a^{2}

. Tegyük fel, hogy

n = k

-ra helyes, vagyis

\begin{matrix} (a k - 1) {(a + 1)}^{k} + 1 = a^{2} A, \end{matrix}

kimutatjuk, hogy akkor

n = (k + 1)

-re is igaz. Kifejezésünket a

n = (k + 1)

-re felírva és az alábbi átalakítást végezve

\begin{matrix} {(a + 1)}^{k + 1} + 1 = (a k - 1 + a) {(a + 1)}^{k} (1 + a) + 1 = \\ = (a k - 1) {(a + 1)}^{k} + 1 + (a k - 1) {(a + 1)}^{k} a + a {(a + 1)}^{k} (1 + a) = \\ = a^{2} A + a {(a + 1)}^{k} (a k - 1 + 1 + a) = a^{2} A + a^{2} {(a + 1)}^{k} (k + 1) = \\ = a^{2} [A + {(a + 1)}^{k} (k + 1)] \end{matrix}

Tehát tényleg

n = (k + 1)

-re is igaz állításunk és így minden

n

-re igaz.

Schmidt Eligius (Bp. I. Fürst Sándor g. III. o. t.)