Feladat: 506. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási Lajos ,  Dancs I. ,  Gyurányi B. ,  Hammer E. ,  Kántor S. ,  Kardon B. ,  Kovács László (Debrecen) ,  Marik Miklós ,  Mercz F. ,  Mohos B. ,  Radnai J. ,  Rédly E. ,  Zobor E. 
Füzet: 1953/november, 84 - 85. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Azonosságok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/január: 506. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Állításunk így is fogalmazható: Bármilyen két értéket is adjunk m-nek, az ezáltal kiválasztott két egyenes metszéspontján mennek át az összes egyenesek.
Válasszunk tehát ki két konkrét egyenest: Pl. legyen m1=0 és m2=1 akkor a két egyenes egyenlete.

3x-2y+2=010x-22y-1=0.

Ezen egyenletrendszert megoldva a két egyenes metszéspontjaként a (-1,-12) pont adódik. E pont koordinátáit az adott általános egyenletbe helyettesítve
-(m2+6m+3)+12(2m2+18m+2)-3m+2=0,
vagyis a
-m2-6m-3+m2+9m+1-3m+2=0
azonosságot kapjuk, tehát tényleg az összes egyenesek átmennek a (-1,-12) ponton.
 

Marik Miklós (Bp. I., Fürst Sándor g. III. o. t.)

 

II. megoldás: Rendezzük az egyenletet m hatványai szerint
(x-2y)m2+3(2x-6y-1)m+3x-2y+2=0.

Állításunkat igazoltuk, ha kimutatjuk, hogy van olyan x, y pár, amely a fenti egyenletet m-től függetlenül kielégíti, vagyis más szavakkal az,

x-2y=0,(1)2x-6y-1=0,(2)és3x-2y+2=0(3)
egyenesek egy pontban metszik egymást.
Ehhez elég kimutatni, hogy ezen három egyenletből álló két ismeretlent tartalmazó, egyenletrendszer nem ellentmondó, hanem bármely két egyenletből következik a harmadik. Tényleg (2) kétszereséhez (3)-at hozzáadva, megkapjuk (1) 7-szeresét. Tehát a (2) és (3) egyenletrendszer gyökei: x=-1, y=-12 kielégítik az (1) egyenletet is, amivel állításunk bizonyítást nyert.
 

Almási Lajos (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)