Kezdőlap


Feladat:	506. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási Lajos , Dancs I. , Gyurányi B. , Hammer E. , Kántor S. , Kardon B. , Kovács László (Debrecen) , Marik Miklós , Mercz F. , Mohos B. , Radnai J. , Rédly E. , Zobor E.
Füzet:	1953/november, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 506. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Állításunk így is fogalmazható: Bármilyen két értéket is adjunk $m$ -nek, az ezáltal kiválasztott két egyenes metszéspontján mennek át az összes egyenesek.
Válasszunk tehát ki két konkrét egyenest: Pl. legyen $m_{1} = 0$ és $m_{2} = 1$ akkor a két egyenes egyenlete.

\begin{matrix} 3 x - 2 y + 2 & = 0 \\ 10 x - 22 y - 1 & = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletrendszert megoldva a két egyenes metszéspontjaként a

(- 1, - \frac{1}{2})

pont adódik. E pont koordinátáit az adott általános egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} - (m^{2} + 6 m + 3) + \frac{1}{2} (2 m^{2} + 18 m + 2) - 3 m + 2 = 0, \end{matrix}

vagyis a

\begin{matrix} - m^{2} - 6 m - 3 + m^{2} + 9 m + 1 - 3 m + 2 = 0 \end{matrix}

azonosságot kapjuk, tehát tényleg az összes egyenesek átmennek a

(- 1, - \frac{1}{2})

ponton.

Marik Miklós (Bp. I., Fürst Sándor g. III. o. t.)

II. megoldás: Rendezzük az egyenletet

m

hatványai szerint

\begin{matrix} (x - 2 y) m^{2} + 3 (2 x - 6 y - 1) m + 3 x - 2 y + 2 = 0. \end{matrix}

Állításunkat igazoltuk, ha kimutatjuk, hogy van olyan

x

y

pár, amely a fenti egyenletet

m

-től függetlenül kielégíti, vagyis más szavakkal az,

\begin{matrix} x - 2 y & = 0, & (1) \\ 2 x - 6 y - 1 & = 0, & (2) \\ és 3 x - 2 y + 2 & = 0 & (3) \end{matrix}

egyenesek egy pontban metszik egymást.
Ehhez elég kimutatni, hogy ezen három egyenletből álló két ismeretlent tartalmazó, egyenletrendszer nem ellentmondó, hanem bármely két egyenletből következik a harmadik. Tényleg (2) kétszereséhez (3)-at hozzáadva, megkapjuk (1)

7

-szeresét. Tehát a (2) és (3) egyenletrendszer gyökei:

x = - 1

y = - \frac{1}{2}

kielégítik az (1) egyenletet is, amivel állításunk bizonyítást nyert.

Almási Lajos (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)