Kezdőlap


Feladat:	505. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gaál István
Füzet:	1953/november, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Számsorok, Mértani sorozat, Kamatos kamat, Járadékszámítás, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 505. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az eredeti faállományt $v_{0}$ -val jelöljük, és az évi növekedés $p %$ , akkor az $n$ -edik év végéig a felnövekedett faállomány

\begin{matrix} v_{n} = v_{0} q^{n}, ahol q = 1 + \frac{p}{100} . \end{matrix}

De mivel minden év végén állandó

r

mennyiségű fát vágnak ki, ennek összegét (a kivágott famennyiségre eső növekményt is figyelembe véve) ki kell vonni. Ez az összeg

\begin{matrix} r \cdot q^{n - 1} + r \cdot q^{n - 2} + ... r q + r = r \frac{q^{n} - 1}{q - 1} . \end{matrix}

Tehát az

n

-edik év végén a faállomány

\begin{matrix} V_{n} = v_{0} q^{n} - r \frac{q^{n - 1}}{q - 1} . \end{matrix}

Jelen esetben

\begin{matrix} V_{11} = 30 500 \cdot 1, 02^{11} - 1400 \frac{1, 02^{11} - 1}{0, 02} = 30 500 \cdot 1, 02^{11} - 70 000 \cdot (1, 02^{11} - 1) = \\ = 70 000 - 39 500 \cdot 1, 02^{11} = 70 00 - A \end{matrix}

Az iskolai

4

-jegyű logaritmus táblát használva:

\begin{matrix} \begin{matrix} lg & 39 500 & = 4, 5966 \\ + 11 & lg & 1, 02 & = 0.0946 \\ lg & A & = 4, 9612 \\ A & = 49 110 \end{matrix} \end{matrix}

Tehát a

11

-ik év végén a faállomány

\begin{matrix} v_{11} = 70 000 - 49 110 = 20 890 m^{3} \end{matrix}

A faállomány kimerülése

x

év múlva következik be, amikor

\begin{matrix} 70 000 - 39 500 \cdot 1, 02^{x} = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 395 \cdot 1, 02^{x} = 700, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x = \frac{lg 700 - lg 395}{lg 1, 02} = \frac{2, 8451 - 2, 5966}{0, 0086} = \frac{2485}{86} \approx 28, 9, \end{matrix}

ami azt jelenti, hogy a

29

-ik évben merül ki a faállomány, de az utolsó évre már nem marad

1400 m^{3}

kivágásra.

Gaál István (Csorna, Latinka Sándor g. III. o. t.)