Kezdőlap


Feladat:	503. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Vida Piroska
Füzet:	1953/november, 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/december: 503. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az alapélt $a$ -val jelölve, a keresett köbtartalom

\begin{matrix} K = \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{4} \cdot \frac{m}{3} = \frac{a^{2} 11 \sqrt[]{3}}{12} . \end{matrix}

Tehát csak az

a^{2}

-t kell az adatokból meghatározni. Az alaplapba írt kör sugarát

ϱ

-val és az oldallap magasságát

m_{0}

-val jelölve. Pythagoras-tétele alapján fennáll a következő, minden szabályos gúlára érvényes, összefüggés

\begin{matrix} ϱ^{2} + m^{2} = m_{0}^{2} . \end{matrix}

(1)

Jelen esetben

ϱ

a súlyvonal harmadrésze. vagyis

ϱ = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt[]{3}}{2} = \frac{a \sqrt[]{3}}{6}

, továbbá a feladat szerint

\frac{a m_{0}}{2} = 210

, amiből

m_{0} = \frac{420}{a}

, és így (1) így alakul

\begin{matrix} {(\frac{a \sqrt[]{3}}{6})}^{2} + 11^{2} = {(\frac{420}{a})}^{2} . \end{matrix}

Rendezés után

\begin{matrix} a^{4} + 1452 a^{2} - 2 116 800 = 0, \end{matrix}

amiből (a negatív gyöktől eltekintve)

\begin{matrix} a^{2} = 900, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} K = \frac{100 \cdot 11 \sqrt[]{3}}{12} = 825 \sqrt[]{3} \approx 1429 cm^{3}. \end{matrix}

Vida Piroska (Pannonhalma, Bencés g. IV. o. t.)