|
Feladat: |
500. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Almási L. , Avvakumovits O. , Bagi A. , Balatoni F. , Balázs B. , Bártfai P. , Beke Gyula , Beleznay F. , Beretvás T. , Biczó G. , Borbély J. , Bp. XVI. Corvin Mátyás g. , Bujdosó A. , Böszörményi Nóra , Csáki E. , Csanády M. , Cserni A. , Csiszár I. , Csonka P. , Damjanovich S. , Dancs I. , Deli P. , Deseő Z. , Dobó I. , Edőcsény L. , Esztergom I. István g. , Eöllös P. , Eördögh L. , Ferenc F. , Fodor P. , Fragó J. , Gaál I. , Gergely J. , Gergely P. , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Győr, Czuczor Gergely g. , Hackl L. , Hatvani D. , Hoffmann S. , Holbok S. , Horváth J. , Huszár k. , Juhász L. , Kálmán Gy. , Kántor S. , Kardon B. , Keresztély S. , Kéri J. , Kézdy P. , Klafszky E. , Kollár L. , Kovács F. , Kovács László (Debrecen) , Krakóczky F. , Kriskó F. , Kulcsár Zsuzsa , Lábos E. , Lackner Györgyi , Magyary-Kossa M. , Makai I. , Marik M. , Martinusz I. , Medveczky L. , Mód S. , Molnár I. , Mózes B. , Nagykanizsa, Irányi Dániel g. , Németh Gy. , Németh Lehel , Ott L. , Papp Z. , Péntek L. , Pergel J. , Quittner Pál , Rédly E. , Reichlin M. V. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Roszondai B. , Rozsondai Z. , Sebők J. , Sélley G. , Sohár P. , Sóti F. , Surányi P. , Szabó D. , Szabó József (Szolnok) , Szakál A. , Szentay E. , Szombathely, Nagy Lajos g. , Szuromi L. , Tahy P. , Telkes Z. , Theisz P. , Tilesch F. , Tisovszky J. , Tokaji B. , Tomor B. , Uhrin J. , Varga J. , Vass G. , Vértes A. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zobor E. |
Füzet: |
1953/október,
57 - 58. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Forgatva nyújtás, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1952/december: 500. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Jelöljük az adott pontot -val és az adott középpontú és sugarú kört -val. Legyen a keresett négyzet és legyen a oldal a húrja. Képzeljük a feladatot megoldottnak (1. ábra).
1. ábra Az átló az oldalnak körüli -kal való elforgatása és arányban való nyújtása. Ez a transzformáció azonban átviszi a kört egy olyan körbe, melynek középpontja az távolságnak hasonló transzformációjából keletkezik és amely sugara . Tehát a csúcspont egyrészt rajta van a körön, másrészt rajta van a -n. Eszerint a szerkesztés menete: Az távolságot mindkét irányban -kal elforgatva és arányban megnyújtva, nyerjük az és pontokat. (Legegyszerűbben úgy, hogy az -ban -ra emelt merőlegesre mindkét irányba felmérjük az távolságot.) és körül sugárral rajzolt körök (2. ábra) metszik ki -ból a , ill. , csúcspontokat. (A és pontok megszerkesztése már triviális.) Az utóbbi két megoldás az előbbi kettőnek tükörképe az tengelyre nézve. 2. ábra A megoldhatóság feltétele, hogy és (és ugyanakkor és -nek) legyen közös pontja, vagyis hogy egyrészt , másrészt (ha a -n belül van) . Tehát megoldás akkor van, ha Ha a fenti egyenlőtlenségek egyikének nem tesz eleget, akkor nincs megoldás. Egyenlőség esetén a megoldások száma 2, különben 4, kivéve az esetet (vagyis midőn rajta van a -n), midőn is és összeesnek az -nak átellenes pontjában (a két megoldás elfajul a -ba írt négyzetté) és ugyanakkor és egybeesnek -val vagyis két megoldás ponttá fajul.
Beke Gyula (Hatvan, Bajza József g. I. o. t.) |
II. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak, de az egyszerűség kedvéért hagyjuk el a lényegtelen pontot (2. ábra).
3. ábra Az oldalnak és az átlónak körrel való második metszéspontja legyen ill. . A -nél lévő derékszög miatt a Thales-tétel értelmében a átmérője, és így ‐ ugyancsak Thales tétele alapján ‐ merőleges . Mivel a , azért egyenlő szárú derékszögű háromszög (vagyis feladatunk egy második megoldása), és így , amiből következik, hogy . Megszerkesztve a négyzetet és körül sugarú kört írva, ez a kör nem csak a és pontokon megy át, hanem az ponton is, hiszen -ból a negyedkörív alatt látszik. Az így megtalált szerkesztést használjuk fel a változatosság kedvéért ‐ arra az esetre, midőn az pont az adott körön belül fekszik. Az és alapján megszerkesztjük a pontot, melyre két megoldást kapunk: és (4. ábra).
4. ábra E pontok körül rajzolt sugarú körök metszik ki a -ból a , ill. , négyzetcsúcsokat.
|
|