Feladat: 500. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási L. ,  Avvakumovits O. ,  Bagi A. ,  Balatoni F. ,  Balázs B. ,  Bártfai P. ,  Beke Gyula ,  Beleznay F. ,  Beretvás T. ,  Biczó G. ,  Borbély J. ,  Bp. XVI. Corvin Mátyás g. ,  Bujdosó A. ,  Böszörményi Nóra ,  Csáki E. ,  Csanády M. ,  Cserni A. ,  Csiszár I. ,  Csonka P. ,  Damjanovich S. ,  Dancs I. ,  Deli P. ,  Deseő Z. ,  Dobó I. ,  Edőcsény L. ,  Esztergom I. István g. ,  Eöllös P. ,  Eördögh L. ,  Ferenc F. ,  Fodor P. ,  Fragó J. ,  Gaál I. ,  Gergely J. ,  Gergely P. ,  Grätzer Gy. ,  Gutay L. ,  Gyapjas F. ,  Győr, Czuczor Gergely g. ,  Hackl L. ,  Hatvani D. ,  Hoffmann S. ,  Holbok S. ,  Horváth J. ,  Huszár k. ,  Juhász L. ,  Kálmán Gy. ,  Kántor S. ,  Kardon B. ,  Keresztély S. ,  Kéri J. ,  Kézdy P. ,  Klafszky E. ,  Kollár L. ,  Kovács F. ,  Kovács László (Debrecen) ,  Krakóczky F. ,  Kriskó F. ,  Kulcsár Zsuzsa ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Magyary-Kossa M. ,  Makai I. ,  Marik M. ,  Martinusz I. ,  Medveczky L. ,  Mód S. ,  Molnár I. ,  Mózes B. ,  Nagykanizsa, Irányi Dániel g. ,  Németh Gy. ,  Németh Lehel ,  Ott L. ,  Papp Z. ,  Péntek L. ,  Pergel J. ,  Quittner Pál ,  Rédly E. ,  Reichlin M. V. ,  Roboz Ágnes ,  Rockenbauer Magda ,  Roszondai B. ,  Rozsondai Z. ,  Sebők J. ,  Sélley G. ,  Sohár P. ,  Sóti F. ,  Surányi P. ,  Szabó D. ,  Szabó József (Szolnok) ,  Szakál A. ,  Szentay E. ,  Szombathely, Nagy Lajos g. ,  Szuromi L. ,  Tahy P. ,  Telkes Z. ,  Theisz P. ,  Tilesch F. ,  Tisovszky J. ,  Tokaji B. ,  Tomor B. ,  Uhrin J. ,  Varga J. ,  Vass G. ,  Vértes A. ,  Vigassy J. ,  Zawadowski Alfréd ,  Zobor E. 
Füzet: 1953/október, 57 - 58. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Forgatva nyújtás, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/december: 500. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük az adott pontot A-val és az adott O középpontú és r sugarú kört k-val. Legyen ABCD a keresett négyzet és legyen a BC oldal a k húrja. Képzeljük a feladatot megoldottnak (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Az AC átló az AB oldalnak A körüli 45-kal való elforgatása és 2:1 arányban való nyújtása. Ez a transzformáció azonban átviszi a k kört egy olyan k' körbe, melynek középpontja O' az AO távolságnak hasonló transzformációjából keletkezik és amely k' sugara r2. Tehát a C csúcspont egyrészt rajta van a k körön, másrészt rajta van a k'-n.
Eszerint a szerkesztés menete: Az AO távolságot mindkét irányban 45-kal elforgatva és 2:1 arányban megnyújtva, nyerjük az O' és O'' pontokat. (Legegyszerűbben úgy, hogy az O-ban OA-ra emelt merőlegesre mindkét irányba felmérjük az OA=OO'=OO'' távolságot.) O' és O'' körül r2 sugárral rajzolt körök (2. ábra) metszik ki k-ból a C'1, C'2 ill. C''1, C''2 csúcspontokat. (A B és D pontok megszerkesztése már triviális.) Az utóbbi két megoldás az előbbi kettőnek tükörképe az OA tengelyre nézve.
 
 
2. ábra
 

A megoldhatóság feltétele, hogy k és k' (és ugyanakkor k és k''-nek) legyen közös pontja, vagyis hogy egyrészt OAr2+r, másrészt (ha A a k-n belül van) OAr2-r. Tehát megoldás akkor van, ha
r(2-1)OAr(2+1).

Ha OA a fenti egyenlőtlenségek egyikének nem tesz eleget, akkor nincs megoldás. Egyenlőség esetén a megoldások száma 2, különben 4, kivéve az OA=r esetet (vagyis midőn A rajta van a k-n), midőn is C'1 és C''1 összeesnek az A-nak átellenes pontjában (a két megoldás elfajul a k-ba írt négyzetté) és ugyanakkor C'2 és C''2 egybeesnek A-val vagyis két megoldás ponttá fajul.
 

Beke Gyula (Hatvan, Bajza József g. I. o. t.)

 

II. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak, de az egyszerűség kedvéért hagyjuk el a lényegtelen D pontot (2. ábra).
 
 
3. ábra
 

Az AB oldalnak és az AC átlónak k körrel való második metszéspontja legyen C* ill. B*. A B-nél lévő derékszög miatt a Thales-tétel értelmében CC* a k átmérője, és így ‐ ugyancsak Thales tétele alapján ‐ C*B* merőleges AB*. Mivel a B*AC*=45, azért AB*C* egyenlő szárú derékszögű háromszög (vagyis B*C* feladatunk egy második megoldása), és így B*C*B=135, amiből következik, hogy BOB*=90.
Megszerkesztve a BOB*K négyzetet és K körül r sugarú kört írva, ez a kör nem csak a B és B* pontokon megy át, hanem az A ponton is, hiszen A-ból a BB* negyedkörív 45 alatt látszik.
Az így megtalált szerkesztést használjuk fel a változatosság kedvéért ‐ arra az esetre, midőn az A pont az adott körön belül fekszik. Az OK=r2 és AK=r alapján megszerkesztjük a K pontot, melyre két megoldást kapunk: K' és K'' (4. ábra).
 
 
4. ábra
 

E pontok körül rajzolt r sugarú körök metszik ki a k-ból a B'1, B'2 ill. B''1, B''2 négyzetcsúcsokat.