Feladat: 497. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csiszár Imre ,  Paitz József 
Füzet: 1953/október, 55. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Oszthatóság, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/december: 497. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az adott kifejezés olyan mértani sor összege, amelynek első tagja 1, hányadosa 3 és tagjainak száma 5n. Tehát a mértani sor összeg képlete alapján kifejezésünk

35n-13-1=243n-12.
De an-bn bámilyen természetes szám is n, osztható (a-b)-vel, tehát 243n-12= =(243-1)E2=121⋅E, ahol E egész szám.
 

Paitz József (Ráckeve, Ady Endre g. IV. o. t.)
 

II. megoldás:
1+3+32+...35n-1=(1+3+32+33+34)+35(1+3+...+34)++35⋅2(1+3+...+34)+...+35(n-1)(1+3+...+34)==(1+3+32+33+34)(1+35+35⋅2+...+35(n-1))=121⋅E,


ahol E egész szám.
 

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. I. o. t.)