Feladat: 494. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Babos K. ,  Bagi A. ,  Balatoni F. ,  Balázs B. ,  Bárdos András ,  Biczó G. ,  Csáki E. ,  Csonka P. ,  Deseő Z. ,  Holbok S. ,  Klafszky E. ,  Molnár István ,  Quittner P. ,  Schmidt E. ,  Surányi P. ,  Szilárd M. ,  Tilesch F. ,  Zawadowski A. 
Füzet: 1953/október, 53 - 54. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kocka, Testek szinezése, Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/november: 494. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az egyik lapot befestjük valamely színnel. A szemközti lap befestésénél 5 szín között választhatunk. A megmaradt négy ‐ gyűrűt alkotó ‐ lap bármelyikét festjük be valamely még fel nem használt színnel lényegében ugyanolyan kockához jutunk. A maradó 3 lapot 3!=6-félekeppen festhetjük a maradt színekkel. Tehát színezés szempontjából 5⋅6=30 eset van.
A befestett kockán 3 lappárra 3 számpárt (1, 6; 2, 5; 3, 4) 3!-féleképpen helyezhetünk el. De a számpárok önmagukban is felcserélhetők, ami minden egyes esetben 2 újabb esetet jelent. Így tehát a színezett kockára a számok 3! 23=6⋅8=48-féleképpen helyezhetők el.
Eszerint az ilyen módon készíthető összes különböző kockák száma 30⋅48=1440.

 

Molnár István (Debrecen, Ref. g. III. o. t.)
 

II. megoldás: Vizsgáljuk meg először, hogy hányféleképpen lehet megszámozni a színezetlen kockát. Mivel feltételünk szerint az 1-es lapnak mindig szomszédja a 2-es lap, azért a kockát mindig elhelyezhetjük az asztalon úgy, hogy az 1-es lap felül, a 2-es lap pedig velünk szemben legyen. Ez meghatározza a 6-os és 5-ös helyét is. A 3-as most lehet a baloldalon vagy a jobboldalon. Tehát színezetlen kockára a számozás csak 2 különféle módon történhetik.
A számozás megtörténte után a 6 különböző színt nyilván annyiféleképpen lehet a megszámozott 6 lapra elhelyezni, ahány permutáció alkotható a 6 színből. Ez utóbbiak száma 6!=720, és így az összes különböző kocka száma 2⋅720=1440.
 

Bárdos András (Bp., II., Rákóczi g. III. o. t.)