Kezdőlap


Feladat:	493. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus G. , Babos K. , Balatoni Ferenc , Balázs B. , Bali Gy. , Bányai M. , Bárdos A. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beretvás T. , Biczó G. , Bódás P. , Csáki E. , Cserni A. , Csiszár I. , Csomós S. , Csonka P. , Csurgay Á. , Damjanovich S. , Dancs I. , Deli P. , Deseő Z. , Deutsch P. , Edvi Illés Judit , Eördögh L. , Farkas E. , Farkasfalvy M. , Frajka Z. , Frivaldszky J. , Gaál I. , Gegely J. , Gerey F. , Gergely P. , Gerő A. , Gutay L. , Gyapjas F. , Hammer E. , Holbok S. , Horváth Jenő , Huszka F. , Kántor S. , Keresztély S. , Kéri J. , Kézdy P. , Klafszky E. , Kontur L. , Kovács F. , Kovács László (Debrecen) , Krammer G. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Latzkovits L. , Makai I. , Martinusz I. , Mód S. , Mohos B. , Molnár I. , Ott L. , Pap A. , Papp Z. , Pátkai Gy. , Pergel J. , Quittner P. , Radda Gy. , Rédly E. , Reichlin V. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Schmidt E. , Schneider J. , Simon Gy. , Sohár P. , Sóti F. , Surányi P. , Szabó D. , Szabó József (IV. o.) , Szabó M. , Szalay T. , Szomor I. , Szuromi L. , Tahy P. , Theisz P. , Tilesch F. , Tisovszky J. , Tober E. , Tokaji B. , Tomor B. , Tóth Ildikó , Urbán J. , Varga Tünde , Zawadowski Alfréd , Zobor E.
Füzet:	1953/szeptember, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Binomiális együtthatók, Maradékosztályok, Maradékos osztás, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/november: 493. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Egy szám akkor osztható $5$ -tel, ha az utolsó jegye $0$ vagy $5$ .
Az

\begin{matrix} N = 1^{n} + 2^{n} + ... + 8^{n} \end{matrix}

összeg utolsó jegyét az egyes tagok utolsó jegyei összegének utolsó jegye adja.
Könnyű belátni, hogy
1.

1

-gyel bármely szám,

6

-tal pedig bármely páros szám szorozva, annak utolsó jegye nem változik

(... 0 \cdot 6 = ... 0, ... 2 \cdot 6 = ... 2, ... 4 \cdot 6 = ... 4, ... 6 \cdot 6 = ... 6 ... 8 \cdot 6 = ... 8)

,
és 2. bármely

1

-re ill.

6

-ra végződő szám minden pozitív egész kitevőjű hatványa

1

-re ill.

6

-ra végződik.
3. Az

5

-re (és

0

-ra) végződő számok kivételével bármely páratlan ill. páros szám

4 k

-adik hatványa (ahol

k = 1,2, ...

)

1

-gyel ill.

6

-tal végződik. Mivel a hatvány utolsó jegye csak az alap utolsó jegyétől függ, azért elég állításunkat csak

1

-jegyű számokra igazolni. A 2. pont alapján

\begin{matrix} 1 minden hatány & 1, & 2^{4 k} = 16^{k} & végződése & 6, \\ 3^{4 k} = 81^{k} & végződése & 1, & 4^{4 k} = 16^{2 k} & << & 6, \\ 7^{4 k} = 2401^{k} & << & 1, & 6^{4 k} & << & 6, \\ (9^{4 k} = 81^{2 k} & << & 1), & 8^{4 k} = 4096^{k} & << & 6. \end{matrix}

A 3. és 1. pont alapján következik:
Minden szám

(4 k + 1)

-edik hatványának utolsó jegye megegyezik az alap (azaz első hatványának) utolsó jegyével. Eszerint tehát elég a

4 k - 3

4 k - 2

4 k - 1

és

4 k

alakú kitevőkre

(k = 1,2, ...)

vizsgálni a végződéseket.

\begin{matrix} Aznkitevő \\ A  v é g z ő d é s e k  r e n d r e \\ alakja \\ 4 k - 3 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 k - 2 & 1 & 4 & 9 & 6 & 5 & 6 & 9 & 4 \\ 4 k - 1 & 1 & 8 & 7 & 4 & 5 & 6 & 3 & 2 \\ 4 k & 1 & 6 & 1 & 6 & 5 & 6 & 1 & 6 \end{matrix}

A végződések összege az egyes sorokban

36

44

36

32

, vagyis

N

utolsó jegye

6

4

6

2

és így

5

-tel osztva a maradék rendre

1

4

1

2

Kovács László (Debrecen, Ref. g. III. o. t.)

II. megoldás: 1. Ha

n = 2 k

alakú, akkor

\begin{matrix} N = 1 + {(5 - 1)}^{k} + {(10 - 1)}^{k} + {(15 + 1)}^{k} + 25^{k} + {(35 + 1)}^{k} + {(50 - 1)}^{k} + {(65 - 1)}^{k} . \end{matrix}

Most két alesetet kell megkülönböztetni:
a)

k

páros, akkor a binomiális tétel figyelembevételével

N = 5 A + 7 \cdot 1 = 5 (A + 1) + 2

,
b)

k

páratlan, akkor ugyancsak a binomiális tétel alapján

\begin{matrix} N = 5 B + 1 - 1 - 1 + 1 + 1 - 1 - 1 = 5 B - 1. \end{matrix}

2. Ha

n = 2 k + 1

, akkor

\begin{matrix} N = 1 + (2^{2 k + 1} + 8^{2 k + 1}) + (3^{2 k + 1} + 7^{2 k + 1}) + (4^{2 k + 1} + 6^{2 k + 1}) + 5^{2 k + 1} . \end{matrix}

De ismeretes, hogy

(a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1})

mindig osztható

(a + b)

-vel, és így a második, harmadik és negyedik tag osztható

10

-zel, az utolsó tag pedig

5

-tel. Tehát ez esetben

\begin{matrix} N = 5 C + 1. \end{matrix}

Balatoni Ferenc (Bp. III., Árpád g. III. o. t.)

Megjegyzés: Mindkét megoldásnál nemcsak azt bizonyítottuk, hogy

N

nem osztható

5

-tel, hanem még a maradékot is meghatároztuk aszerint, amint az

n

kitevő

4

-gyel osztva

1

2

3

vagy

0

-t ad maradékul.