Feladat: 492. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csaba L. ,  Csonka P. ,  Kántor S. ,  Kovács László (Debrecen) ,  Sóti F. 
Füzet: 1953/szeptember, 23 - 24. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenes, Mértani helyek, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/november: 492. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Két pontból egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a térben a 2 pont távolságát merőlegesen felező sík. Tehát a keresett mértani hely az az AB szakaszt ill, a CD szakaszt merőlegesen felező síkok metszésvonala. (Vigyázat! E metszésvonal pontjai általában nincsenek egyenlő távolságban a 4 adott ponttól.)
Speciális esetek: Ha A≡C és B≡D, akkor a közös távolságot merőlegesen felező sík a mértani hely. Ha pedig AB∥CD, akkor nincs a végesben pont, amely feltételeinknek eleget tenne.
II. a) Az AB egyenesen átmenő tetszőleges síkban a geometriai hely egy Thales-kör, tehát a térben a keresett mértani hely az AB távolság fölé, mint átmérő fölé rajzolt Thales-gömb.
II. b) jelöljük az adott párhuzamos egyeneseket a-val és b-vel. Tekintsünk egy a-n átmenő tetszőleges síkot és egy erre merőleges síkot a b-n át. E két síknak, a-val és b-vel párhuzamos, metszésvonala: m nyilván a mértani hely egy része. Ha az a, b és m-re merőleges síkkal metsszük a két síkot, ez a harmadik sík kimetszi a két síkból a 90∘-os lapszög szárait és az a és b egyenesekből az A és B pontokat. Tehát a harmadik síkban a keresett mértani hely egy része egy Thales-kör, amelynek átmérője AB. A teljes mértani hely a térben tehát az a forgáskúpfelület, amelynek vezérköre az a és b-re merőleges síkban van, egyik átmérőjének végpontjai pedig e normálsíknak metszéspontjai az a és b egyenesekkel.
Mind a három itt tárgyalt példában, könnyű belátni, hogy a tér egyéb pontjai nem tehetnek eleget követelményünknek.

 

Kovács László (Debrecen, Ref. g. III. o. t.)

 

II. c) A két adott a és b egyenes metszéspontját jelöljük M-mel. Vegyünk az a egyenesen át egy tetszőleges síkot. A b egyenes tetszőleges B pontjából e síkra bocsátott merőleges egyenes messe ezt a síkot egy P pontban. (L. ábrát.)
 
 
1. ábra
 

A BP egyenes természetesen merőleges a-ra (mert, ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor annak minden egyenesére merőleges) és így fektethetünk BP-n át olyan síkot, amely a-ra merőleges. Messe az utóbbi sík az a-t A pontban, akkor BP az előbb idézett tétel alapján AP-re is merőleges. Továbbá a [bP] sík ⊥[aP] síkra, mert hiszen tartalmaz egy olyan egyenest: BP, amely ⊥[aP] síkra. E két egymásra merőleges sík metszésvonala PM=m nyilván a mértani hely egy része. Ha az [aP] sík a körül forog, akkor a P-nél állandóan fellépő APB derékszög miatt a P pont Thales-kört ír le az AB átmérő fölött.
Tehát a keresett mértani hely olyan másodrendű kúpfelület, amelynek középpontja a két egyenes metszéspontja, vezérkörének síkja valamelyik adott egyenesre (t. i. a b-re merőleges síkmetszet is kör, hiszen a és b felcserélhető) merőleges sík, és vezérkörének átmérője pedig síkjának a két adott egyenessel való metszéspontjai által meghatározott szakasz. Könnyű belátni, hogy a tér egyéb pontjai nem felelhetnek meg követelményünknek.
Speciális eset: Ha a⊥b, akkor a kúpfelület 2 síkká fajul: a és b-re illeszkedő b ill. a-ra merőleges síkok.
 
Nem Kevesebb mint 60 megoldó forgáskúp-felületet adott meg mértani helyként.
 

Megjegyzés: Ne mondjuk azt, hogy >>ellipszis-kúp<< mert minden másodrendű kúp vezérgörbéje lehet kör, ellipszis, parabola vagy hiperbola, minthogy ismeretes, hogy minden másodrendű kúpon mind a négyféle síkmetszet fellelhető. (Elliptikus henger, parabolikus henger, hiperbolikus henger azonban létezik.) Kúpfelülettel kapcsolatban (más fogalom a kúptest) mellőzzük az, >>ikerkúp<< és >>kettőskúp<< kifejezéseket, mert ilyen éppen úgy nincs, ahogy nincs >>ikerhiperbola<<. Kúp >>csúcspontja<< (középpontja helyett) és >>kúppalást<< (kúpfelület helyett) szintén olyan kifejezések, amelyek csak a kúptesttel kapcsolatban használhatók.