Kezdőlap


Feladat:	489. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs B. , Beretvás T. , Biczó G. , Bódás P. , Csáki E. , Csonka P. , Damjanovich S. , Deseő Z. , Eördögh L. , Fejes K. , Gaál I. , Gergely P. , Gyapjas F. , Horváth Jenő , Kántor S. , Keresztély S. , Kézdy P. , Klafszky E. , Kontur L. , Kovács László (Debrecen) , Lábos E. , Lackner Györgyi , Marik M. , Mohos B. , Molnár I. , Pátkai Gy. , Pergel József , Pintér L. , Rédly E. , Reichlin V. , Sélley G. , Sohár P. , Surányi P. , Szabó D. , Tomor B. , Zawadowski Alfréd , Zobor E.
Füzet:	1953/május, 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Háromszögek nevezetes tételei, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/november: 489. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Derékszögű háromszög esetén $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; hegyesszögű háromszög esetén ( $c > a$ , $c > b$ ) a cosinus-tétel alapján

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos γ < a^{2} + b^{2}, \end{matrix}

(2)

és megfordítva, ha

c^{2} < a^{2} + b^{2}

. akkor

\begin{matrix} cos γ = \frac{c^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 \cdot b} > 0, \end{matrix}

és így

γ < 90^{\circ}

, vagyis a háromszög hegyesszögű.
Be kell tehát bizonyítanunk, hogy ha teljesül az (1) alatti tétel, akkor fennáll a (2) alatti egyenlőtlenség.
Az (1) alatti feltétel így is írható:

\begin{matrix} a^{2 + p} + b^{2 + p} = c^{2 + p}, ahol p > 0. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} a^{2} \cdot a^{p} + b^{2} \cdot b^{p} = c^{2} c^{p} . \end{matrix}

A baloldalt növeljük, ha

a^{p}

és

b^{p}

helyébe

c^{p}

-t írunk, vagyis

\begin{matrix} a^{2} \cdot c^{p} + b^{2} \cdot c^{p} > c^{2} \cdot c^{p}, \end{matrix}

amiből

c^{p}

-vel való osztás után

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} > c^{2}, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.

Pergel József (Bp. XIX., Landler Jenő g. IV. o. t.)