Feladat: 488. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Ambrus G. ,  Ambrus Lakos István ,  Argyelán M. ,  Avvakumovits V. ,  Babos K. ,  Bajusz M. ,  Balatoni F. ,  Balogh Gy. ,  Bányai M. ,  Baráth B. ,  Bártfai P. ,  Beke Éva és Mária ,  Biczó G. ,  Bódás P. ,  Bogisich F. ,  Bujdosó A. ,  Csáki E. ,  Csanády M. ,  Csertán F. ,  Csiszár I. ,  Csonka P. ,  Czomba I. ,  Dabassy T. ,  Dancs I. ,  Deli P. ,  Diósdi L. ,  Döbrösy K. ,  Eördögh L. ,  Farkas E. ,  Flinger L. ,  Fodor P. ,  Frajka Z. ,  Gaál I. ,  Gajzágó V. ,  Gergely J. ,  Gergely P. ,  Gyenes L. ,  Hackl L. ,  Hajdú J. ,  Hoffmann S. ,  Holbok S. ,  Horváth Gál F. ,  Horváth J. ,  Horváth K. ,  Hún F. ,  Huszár k. ,  Ilosvay Gy. ,  Joós L. ,  Kabók I. ,  Kálmán Gy. ,  Kanker J. ,  Kántor S. ,  Kelényi Judit ,  Kemény Gy. ,  Keresztély Sándor ,  Kézdy P. ,  Kiss L. ,  Kissik A. ,  Klafszky E. ,  Knorr J. ,  Kocsis J. ,  Kollár L. ,  Kovács B. ,  Kovács László (Debrecen) ,  Kuttny Márta ,  Küttel I. ,  Kövecs J. ,  Lehner L. ,  Lévay Z. ,  Lőw M. ,  Magyar-Kossa M. ,  Majtényi I. ,  Marik M. ,  Medveczky L. ,  Mercz F. ,  Mester I. ,  Micsei S. ,  Miklós Margit ,  Mód S. ,  Mohos B. ,  Molnár I. ,  Moravik J. ,  Morva A. ,  Muzslay L. ,  Nagy K. ,  Nagy L. ,  Németh Lehel ,  Németh M. ,  Németh P. ,  Novák J. ,  Nyári E. ,  Orosz Á. ,  Ossko Z. ,  Ott L. ,  Papp Z. ,  Pátkai Gy. ,  Pergel J. ,  Pohlinger l. ,  Putz A. ,  Quittner P. ,  Rácz Márton ,  Radányi L. ,  Radda Gy. ,  Rákos Gy. ,  Rédly E. ,  Reichlin V. ,  Roboz Ágnes ,  Rockenbauer Magda ,  Rózsa A. ,  Rozsondai B. ,  Sohár P. ,  Sóti Ferenc ,  Szabó Magda ,  Szalay L. ,  Szalay T. ,  Szekeres S. ,  Szeleczky Klára ,  Szijártó Gy. ,  Szlanka Z. ,  Szomori I. ,  Tahy P. ,  Telkes Z. ,  Tilesch F. ,  Tisovszky J. ,  Tóka P. ,  Tokaji B. ,  Tomka I. ,  Tomor B. ,  Topolszky M. ,  Tóth Ildikó ,  Tóth Mária ,  Unger P. ,  Uray L. ,  Varga G. ,  Varga György (IV.) ,  Vida Piroska ,  Villányi E. ,  Vojta Z. ,  Zawadowski Alfréd ,  Zobor E. 
Füzet: 1953/május, 152 - 153. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/november: 488. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás: Emeljük mindkét oldalt négyzetre:

sin2x+cos2x+2sinxcosx=32,
vagyis
1+sin2x=32,(2)
amiből
sin2x=12
és így
2x1=30±k360és2x2=150±k360,
ahol k=0,1,2,....
Ennélfogva
x1=15±k180ésx2=75±k180.

Ezek a gyökök kielégítik a (2) alatti egyenletet, de nem biztos, hogy az (1) alatti egyenletnek is eleget tesznek, mert hiszen a négyzetre emelés által nyert (2) egyenlet nem egyenértékű az (1) alatti egyenlettel. Csak az igaz, hogy az (1) minden gyöke szükségképpen a (2)-nek is gyöke.
Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy x1=195 és x2=255 főértékek nem elégítik ki az eredeti (1) egyenletet, mert a baloldalon mindkét tag negatív, a jobboldal pedig pozitív. (Megállapodás ugyanis, hogy minden négyzetgyök, amely előtt nincs előjel, pozitívnak veendő. Ha meg akarjuk hagyni a négyzetgyök kétértelműségét, akkor ± előjeleket kell a négyzetgyök elé írni, amint azt a másodfokú egyenlet oldóképletében meg is tesszük.)
Tehát egyenletünk megoldása
x1=15±k360=π12±2kπ,
és
x2=75±k360=5π12±2kπ,
ahol k=0,1,2,....
 

Rácz Márton (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)
 

II. megoldás: Mivel sin(x+45)=sinxcos45+cosxsin45=12(sinx+cosx), azért sinx+cosx=2sin(x+45).
Egyenletünk tehát így is írható:
2sin(x+45)=32,vagyissin(x+45)=32,amibőlx1+45=60±k360,ésx2+45=120±k360,(k=0,1,2,...)


és így
x1=15±k360,x2=75±k360aholk=0,1,2,....

Sóti Ferenc (Szeged, 5. sz. vegyip. techn. IV. o. t.)
 

III. megoldás: Mivel cosα=sin(α+π2), ezért egyenletünk így is írható:
sinx+sin(x+π2)=32.
Felhasználva a sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2 azonosságot
2sin(x+π4)cosπ4=32.
De cosπ4=22 és így
sin(x+π4)=32
stb., mint a II. megoldásban.
 

Keresztély Sándor (Miskolc, Földes Ferenc g. IV. o. t.)