Kezdőlap


Feladat:	485. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston F. , Almási L. , Argyelán M. , Avvakumovits O. , Bába Á. , Babos K. , Bagi A. , Bagi G. , Bajusz M. , Balatoni F. , Bali Gy. , Bárdos A. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beretvás T. , Biró J. , Bódás P. , Bogisich F. , Bp. XVI., Corvin Mátyás g. , Bujdosó A. , Burger P. , Celldömölk, Gábor Áron g. , Csáki E. , Csanády M. , Csernyi A. , Csiszár I. , Csomós S. , Csonka P. , Csurgay Á. , Czibere Márta , Damjanovich S. , Dancs I. , Deli P. , Deseő Z. , Döbrösy K. , Edvi Illés Judit , Entner I. , Esztergom, I. István g. , Eöllös P. , Eördögh L. , Farkas E. , Fejes K. , Fodor J. , Főző Éva , Frajka Z. , Frivaldszky J. , Füredi F. , Földeák M. , Gergely J. , Gergely P. , Gutay L. , Gyapjas Ferenc , Győr, Czuczor Gergely g. , Hajdú J. , Halász S. , Hammer E. , Hoffmann S. , Holbok S. , Horváth J. , Horváth L. , Hún F. , Huszár k. , Jármay Erzsébet , Kabók I. , Kálmán Gy. , Kántor S. , Kelényi Judit , Keresztély S. , Kéri J. , Kézdy P. , Klafszky E. , Kocsis J. , Kollár L. , Kopasz E. , Kovács László (Debrecen) , Küttel I. , Körmendi Zsuzsa , Lábos E. , Lázár Erika , Legény K. , Lepsényi J. , Majtényi I. , Marik M. , Martinusz I. , Medveczky L. , Miklós Margit , Mód S. , Molnár I. , Muzslay L. , Nagykanizsa, Irányi Dániel g. , Németh Gy. , Németh L. , Németh M. , Németh P. , Németh S. , Obermájer M. , Orosz Á. , Orosz Zs. , Ott L. , Pap A. , Papp Z. , Pátkai Gy. , Péntek L. , Pergel J. , Plank F. , Pócsik I. , Pravecki E. , Putz A. , Pyber L. , Quittner P. , Radányi L. , Radics J. , Ramocsa F. , Rédly E. , Reichlin V. , Rénes I. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Sáfrán L. , Sághy Gy. , Salgótarján, 10. sz. gépip. techn. , Savanyó L. , Schmidt E. , Schmidt Ibolya , Schneider J. , Sélley G. , Simon J. , Sohár P. , Sopron, Fáy András közg. tech. , Sóti F. , Stock B. , Surányi P. , Szabó D. , Szabó I. , Szabó József (IV. o.) , Szabó S. , Szarka A. , Szeleczky Klára , Szelezsán J. , Szijjártó Gy. , Sziklai Gy. , Telkes Z. , Tilesch F. , Tisovszky J. , Tóber E. , Tokaji B. , Tomor B. , Tornyos F. , Tóth Ildikó , Tóth J. , Tóth Mária , Tóth T. , Totth E. , Unger P. , Uray L. , Váradi J. , Varga G. , Varga J. , Varga Tünde , Vass G. , Vastag Gy. , Vincze I. , Zawadowski Alfréd , Zobor E.
Füzet:	1953/május, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/november: 485. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) összegünk így is írható:

\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{1000}{27}} - {(- 6)}^{2} + {(\sqrt[4]{256})}^{3} & + 1 + {(- 2)}^{5} - \frac{1}{3} = \\ = & \frac{10}{3} - 36 + 64 + 1 - 32 - \frac{1}{3} = 0. \end{matrix}

b) Jelöljük az első tényezőt

A

-val, a másodikat

B

-vel, akkor

\begin{matrix} A = & \frac{{(a^{\frac{1}{2}})}^{3} - {(b^{\frac{1}{2}})}^{3}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} - \sqrt[]{a b} = {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + {(b^{\frac{1}{2}})}^{2} - a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} = a + b, \\ B = \frac{\sqrt[]{10} {(a + b)}^{- 1}}{{(10^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{10^{\frac{1}{2}}}{10^{\frac{1}{2}} (a + b)} = \frac{1}{a + b} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} A \cdot B = (a + b) \frac{1}{a + b} = 1. \end{matrix}

c) Jelöljük a

3

tényezőt rendre

A

B

C

-vel,

\begin{matrix} A = {[1 - x^{2} {(1 + x^{2})}^{- 1}]}^{- 1} = {(1 - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}})}^{- 1} = {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{- 1} = 1 + x^{2}, \\ B = \frac{1}{1 + x^{2}} \end{matrix}

és feltéve, hogy

x \neq 0

, vagyis

x^{0} = 1

\begin{matrix} C = \sqrt[]{1 + x^{2}} - \frac{1}{\sqrt[]{1 + x^{2}}} = \frac{1 + x^{2} - x^{2}}{\sqrt[]{1 + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt[]{1 + x^{2}}} . \end{matrix}

Tehát

A \cdot B \cdot C = \frac{1}{\sqrt[]{1 + x^{2}}}

feltéve, hogy

x \neq 0

Gyapjas Ferenc (Bp. VIII., Széchenyi g. IV. o. t.)