Feladat: 480. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ambrus G. ,  Avvakumovits O. ,  Babos K. ,  Bagi A. ,  Balatoni F. ,  Balázs B. ,  Bali Gy. ,  Baráth B. ,  Bártfai P. ,  Beke Éva és Mária ,  Beleznay F. ,  Beretvás T. ,  Bereznai I. ,  Biczó G. ,  Biró J. ,  Bódás P. ,  Búza T. ,  Csáki E. ,  Csernyák L. ,  Csiszár I. ,  Csonka P. ,  Dancs I. ,  Deseő Z. ,  Döbrösy K. ,  Dömölki B. ,  Eördögh L. ,  Frajka Z. ,  Frivaldszky J. ,  Gaál I. ,  Gajzágó V. ,  Gerey F. ,  Gergely J. ,  Gergely P. ,  Gulyás l. ,  Gutay L. ,  Gyapjas F. ,  Gyurányi B. ,  Györe I. ,  Hammer E. ,  Hoffmann S. ,  Horváth J. ,  Horváth József ,  Huszár k. ,  Ivanyos A. ,  Kabók I. ,  Kántor Sándor ,  Kardou B. ,  Kéri J. ,  Kézdy P. ,  Kiss A. ,  Klafszky E. ,  Kollányi Veronika ,  Kontur L. ,  Kovács F. ,  Kovács László (Debrecen) ,  Kriskó F. ,  Kristóf T. ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Lepsényi J. ,  Magyary-Kossa M. ,  Marik M. ,  Marti S. ,  Mátrai Gy. ,  Mercz F. ,  Mina J. ,  Misota Lajos ,  Mohos B. ,  Molnár J. ,  Molnár T. ,  Müller L. ,  Nagy B. ,  Nagy Lajos ,  Nagy S. ,  Németh Gy. ,  Németh I. ,  Obermájer M. ,  Paitz J. ,  Pál E. ,  Papp Z. ,  Pázmándy Gy. ,  Péntek L. ,  Pergel J. ,  Pohlinger l. ,  Pravecki E. ,  Quittner P. ,  Rácz M. ,  Radda Gy. ,  Rédly E. ,  Reichlin-M. V. ,  Rockenbauer Magda ,  Sáfrán L. ,  Schmidt E. ,  Schmidt Ibolya ,  Schneider J. ,  Schúder J. ,  Sohár P. ,  Sóti F. ,  Surányi P. ,  Szabados L. ,  Szabó D. ,  Szabó J. ,  Szilárd M. ,  Szlukovényi F. ,  Telkes Z. ,  Theisz P. ,  Tilesch F. ,  Tisovszky J. ,  Tóka P. ,  Tokaji B. ,  Tomor B. ,  Tóth Ildikó ,  Uhrin J. ,  Varga György (Baja) ,  Varga Tünde ,  Vass G. ,  Weisz B. ,  Weisz Edit ,  Zawadowski Alfréd ,  Zobor E. 
Füzet: 1953/április, 112 - 114. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Háromszögek nevezetes tételei, Alakzatok mértéke, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Diszkusszió, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/október: 480. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel γ=120, azért c az ABC legnagyobb oldala, és így

a<c<a+b,(1)
és
b<c<a+b.(2)

Azt kell bizonyítani, hogy az (1), ill. (2)-ben szereplő oldalakból háromszöget lehet szerkeszteni. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a legnagyobb oldal kisebb legyen a másik két oldal összegénél, vagyis
a+b<a+c(3)a+b<b+c(4)

De (3) közvetlenül következik (2) első egyenlőtlenségéből és (4) közvetlenül (1) első részének folyománya.
Ezzel tételünk első részét bebizonyítottuk.
Jelöljük az (1) alatti oldalukból szerkesztett háromszög szögeit rendre α', β' és γ'-vel.
Az eredeti ABC-ből a cosinus tétel alapján
c2=a2+b2-2abcos120=a2+b2+ab(5)
mivel cos120=-12.
Másrészt a megszerkesztett háromszögből ugyancsak a cosinus‐tétel felhasználásával
c2=a2+(a+b)2-2a(a+b)cosβ'(6)
(5) és (6)-ból következik, hogy
a2+b2+ab=a2+a2+2ab+b2-2a(a+b)cosβ'
amiből
2a(a+b)cosb'=a2+ab=a(a+b),
és így
cosβ'=12,
vagyis
β'=60

A sinus‐tétel szerint
sinβ'sinα'=ca=sinγsinα

Mivel
sinβ'=sin60=12,éssinγ=sin120=12,
azért
sinα'=sinα
α' és α közül egyik sem fekszik a legnagyobb oldallal szemben, tehát egyikük sem lehet tompaszög, vagyis
α'=α,
és
γ'=180-β'-α'=180-60-α=120-α=60+β.

A másik háromszöggel nem kell külön foglalkozni, mert csak a és b oldalakat, ill. α és β szögeket kell egymás között felcserélni.
 

Kántor Sándor (Debrecen, Ref. g. IV. o. t.)

 

II. megoldás: Állításunkat azzal bizonyíthatjuk, hogy tényleg megszerkesztjük az a, c, a+b és b, c, a+b oldalú háromszögeket.
 
 

Rajzoljuk meg az adott ABC-et, melyben γ=120. (L. ábrát). Hosszabbítsuk meg az a és b oldalakat C-n túl a CD=b, illetőleg CE=a szakaszokkal. Mivel γ mellékszöge 60, azért az BCE és ACD háromszögek nemcsak egyenlő szárúak, hanem egyenlő oldalúak, és így EAB és DBA a keresett háromszögek, melyeknek szögei tehát
60,α,60+β
illetőleg
60,β,60+α

Misota Lajos (Pécs, Nagy Lajos g. IV. o. t.)