Feladat: 479. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ambrus G. ,  Babos K. ,  Bagi A. ,  Balatoni F. ,  Balázs B. ,  Balázs Sz. ,  Bali Gy. ,  Beretvás T. ,  Bereznai I. ,  Biczó G. ,  Biró J. ,  Bódás P. ,  Bogisich F. ,  Bp. XVI., Corvin Mátyás g. ,  Bujdosó A. ,  Búza T. ,  Csáki Endre ,  Csanády M. ,  Császár L. ,  Csernyák L. ,  Csiszár I. ,  Csonka P. ,  Csurgay Á. ,  Dancs I. ,  Deseő Z. ,  Dobozy Anna ,  Döbrösy K. ,  Dömölki B. ,  Edvi Illés Judit ,  Eichorn J. ,  Esztergom, I. István g. ,  Eördögh L. ,  Fazekas E. ,  Fehérvári J. ,  Frajka Z. ,  Frivaldszky J. ,  Földeák M. ,  Gaál I. ,  Gajzágó V. ,  Gerey F. ,  Gergely J. ,  Gutay L. ,  Gyapjas F. ,  Győr Czuczor Gergely g. ,  Győre I. ,  Hajós F. ,  Hammer E. ,  Hatos I. ,  Hátsági V. ,  Holbok S. ,  Horváth Jenő ,  Horváth József ,  Kabók I. ,  Kántor S. ,  Kardou B. ,  Kecskés K. ,  Kelényi Judit ,  Kéri J. ,  Kézdy P. ,  Klafszky E. ,  Kollányi Veronika ,  Kontur L. ,  Kovács F. ,  Kristóf T. ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Martinusz I. ,  Mátrai Gyula ,  Misota L. ,  Mód S. ,  Mohos B. ,  Molnár I. ,  Molnár T. ,  Müller L. ,  Nagy Lajos ,  Nagy S. ,  Nagykanizsa, Irányi Dániel g. ,  Németh Lehel ,  Oláh I. ,  Ott L. ,  Paitz J. ,  Pál E. ,  Papp Z. ,  Pátkai Gy. ,  Péntek L. ,  Pergel J. ,  Pravecki E. ,  Quittner P. ,  Rácz M. ,  Radda Gy. ,  Rédly E. ,  Reichlin-M. V. ,  Rockenbauer Magda ,  Schmidt E. ,  Schneider J. ,  Sebők J. ,  Sélley G. ,  Sohár P. ,  Sóti F. ,  Surányi P. ,  Szabados L. ,  Szabó D. ,  Szabó József (IV. o.) ,  Szabó M. ,  Szilárd M. ,  Tahy P. ,  Theisz P. ,  Tilesch F. ,  Tiszaföldvár, ált. g. ,  Tokaji B. ,  Tomor B. ,  Toronyi Ágnes ,  Tóth E. ,  Tóth Ildikó ,  Uhrin J. ,  Varga F. ,  Varga György (IV. o.) ,  Vass G. ,  Veidinger L. ,  Vértes A. ,  Vicze Adrienne ,  Vigassy J. ,  Weisz B. ,  Zawadowski Alfréd 
Füzet: 1953/április, 111 - 112. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Háromszögek nevezetes tételei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/október: 479. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden háromszögben feltétlenül van két hegyes szög: jelöljük ezeket α-val és β-val.
Fennáll mindig, hogy

tg (α+β)=tg α+tg β1-tg αtg β,  
ahol a tört előjele (mivel a feltétel szerint tg α>0 és tg β>0) csak a nevezőtől függ.
1. Tételünk állítása szükséges:
Ha a háromszög tompaszögű, akkor α+β<90, és így tg (α+β)>0. Ebből következik, hogy a törtnek szükségképpen pozitívnak kell lennie, ami csak akkor következik be, ha
tg αtg β<1.  

2. Tételünk állítása elégséges:
 

Ha tg αtg β<1, akkor a nevező és vele együtt az egész tört pozitív, vagyis tg (α+β)>0. Ebből szükségképpen következik, hogy α+β<90, vagyis a háromszög tompaszögű.
 

Csáki Endre (Győr, Révai g. IV. o. t.)