Kezdőlap


Feladat:	477. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argyelán M. , Babos K. , Balatoni F. , Bártfai Pál , Beretvás T. , Biczó G. , Csáki E. , Csonka P. , Dancs I. , Deseő Z. , Döbrösy K. , Eördögh L. , Farkas E. , Frajka Z. , Gaál I. , Gerey F. , Gergely J. , Gyapjas F. , Horváth Jenő , Kántor S. , Kovács László (Debrecen) , Krammer G. , Lábos E. , Molnár I. , Papp Z. , Quittner P. , Rédly E. , Reichlin-M Viktor , Rockenbauer Magda , Schmidt E. , Sohár P. , Sóti E. , Surányi P. , Szabados L. , Szabó D. , Szilárd M. , Tahy P. , Theisz P. , Tilesch F. , Tisovszky J. , Tokaji B. , Tomor B. , Vass G. , Vértes P. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd
Füzet:	1953/április, 107 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 477. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a személy-, teher- és gyorsvonat sebességét rendre $c_{1}$ , $c_{2}$ és $c_{3}$ km/perccel.
A feladat szerint

\begin{matrix} \frac{5}{c_{1}} + \frac{5}{c_{2}} = 15, \end{matrix}

(1)

ahol

\begin{matrix} c_{2} ≦ c_{1} \end{matrix}

(2)

kikötésünk szerint.
(1)-ből

\begin{matrix} \frac{1}{c_{2}} = 3 - \frac{1}{c_{1}} \end{matrix}

és így (2) figyelembevételével

\begin{matrix} \frac{1}{c_{1}} ≦ 3 - \frac{1}{c_{1}}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c_{1} ≧ \frac{2}{3}, \end{matrix}

és így (1)-ből

\begin{matrix} c_{2} ≦ \frac{2}{3} . \end{matrix}

Mivel a feladat szerint

\begin{matrix} \frac{5}{c_{2}} + \frac{5}{c_{3}} = 11 \end{matrix}

(3)

azért, ha

c_{2}

felveszi maximális

\frac{2}{3}

értékét, akkor

c_{3}

értéke minimális és ez a minimális érték kiszámítható (3)-ból:

\begin{matrix} \frac{5}{c_{3}} = 11 - \frac{5}{c_{2}} = 11 - \frac{15}{2} = \frac{7}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c_{3} = \frac{10}{7}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} c_{3} ≧ \frac{10}{7} \end{matrix}

c_{3}

maximális értéke a feltétel szerint

\frac{5}{2}

, tehát

c_{3} ≦ \frac{5}{2}

Ha (3)-ba

c_{3}

helyébe a maximális értéket tesszük, akkor nyerjük

c_{2}

-re a minimális értéket:

\begin{matrix} \frac{5}{c_{2}} = 11 - \frac{5}{c_{3}} = 11 - 2 = 9, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c_{2} = \frac{5}{9}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} c_{2} ≧ \frac{5}{9} . \end{matrix}

Végül, ha

c_{2}

-nek ezen minimális értékét helyettesítjük (1)-be, akkor megkapjuk

c_{1}

maximális értékét:

\begin{matrix} \frac{5}{c_{1}} = 15 - 9 = 6, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c_{1} = \frac{5}{6}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} c_{1} ≦ \frac{5}{6} . \end{matrix}

Tehát a korlátok km/percekben:

\begin{matrix} \frac{2}{3} ≦ & c_{1} ≦ \frac{5}{6}, \\ \frac{2}{3} ≧ & c_{2} ≧ \frac{5}{9}, \\ \frac{10}{7} ≦ & c_{3} ≦ \frac{5}{2} . \end{matrix}

Áttérve km/órára:

\begin{matrix} 40 ≦ c_{1} ≦ 50 \\ 40 ≧ c_{2} ≧ 33 \frac{1}{3} \\ 85 \frac{5}{7} ≦ c_{3} ≦ 150. \end{matrix}

Amíg a személy- és gyorsvonat sebessége növekszik, addig a teheré csökken.

Bártfai Pál (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.)