Kezdőlap


Feladat:	475. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Ambrus G. , Argyelán M. , Babos K. , Bagi A. , Bagi G. , Balaton F. , Balázs B. , Balázs Sz. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beretvás T. , Bereznai I. , Biczó Géza , Biró I. , Bodor J. , Bp. XVI. Corvin Mátyás g. , Böszörményi Nóra , Celldömölk, Gábor Á. g. , Csáki E. , Csiszár I. , Csomos S. , Csonka P. , Csurgay Á. , Dancs I. , Debrecen, 3. sz. vegyipari techn. , Deseő Z. , Divényi P. , Döbrösy K. , Dömölki B. , Edvi Illis Judit , Eichorn J. , Elefanti Evelyne , Esztergom, I. István g. , Eördögh L. , Farkas E. , Frajka Z. , Frivaldszky J. , Gajzágó V. , Gerey F. , Gergely J. , Gerő A. , Gutay L. , Gyapjas F. , Győr, Bencés g. , Gyurányi B. , Hajduszoboszló, Irinyi János g. , Hammer E. , Holbok S. , Horváth J. , Huszár k. , Kálmán Gy. , Kántor S. , Kardou B. , Kecskés K. , Kelényi Judit , Kéri J. , Kézdy P. , Klofszky E. , Kontur L. , Kovács F. , Kovács László (Debrecen) , Kristóf T. , Lackner Györgyi , Latzkovits L. , Leszler A. , Marik M. , Martinusz I. , Marx Klára , Mercz F. , Misota L. , Mohos B. , Molnár I. , Müller L. , Nagy B. , Nagykanizsa, Irányi Dániel g. , Oláh I. , Papp Z. , Pátkai Gy. , Péntek L. , Pergel J. , Pintér L. , Quittner P. , Rácz M. , Radda Gy. , Rédly E. , Reichlin V. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Róth E. , Schmiedt E. , Schúder J. , Sebők J. , Sohár P. , Sóti F. , Surányi P. , Szabó D. , Szabó József (IV. o.) , Szabó M. , Szendrei I. , Tahy P. , Theisz P. , Tilesch F. , Tisovszky J. , Tober E. , Tokaji B. , Tomor B. , Tóth Ildikó , Uhrin J. , Uray L. , Vass G. , Veidinger L. , Weisz B. , Weisz Edit , Zawadowski Alfréd , Zobor E.
Füzet:	1953/március, 81 - 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/október: 475. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy $10$ -es számrendszerbeli szám általános alakja

\begin{matrix} N = a_{2 n} 10^{2 n} + a_{2 n - 1} 10^{2 n - 1} + a_{2 n - 2} 10^{2 n - 2} + ... + a_{3} 10^{3} + a_{2} 10^{2} + a_{1} 10 + a_{0}, \end{matrix}

ahol az együtthatók

1

-jegyű természetes számok a

0

-t is beleértve. Ha a szám páros számú számjegyekből áll, akkor

a_{2 n} = 0

.
Ismeretes, hogy

a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1}

osztható

(a + b)

-vel, és

a^{2 k} - b^{2 k} = {(a^{2})}^{k} - {(b^{2})}^{k}

osztható

(a^{2} - b^{2})

-tel, amiből következik, hogy

10^{2 k + 1} + 1

osztható

10 + 1 = 11

-gyel és

10^{2 k} - 1 = 100^{k} - 1

osztható

100 - 1 = 99

-cel és így

11

-gyel is.
Ezt tudva,

N

-et a következő alakban írjuk fel:

\begin{matrix} N & = a_{0 n} 10^{2 n} - a_{2 n} + a_{2 n} + a_{2 n - 1} 10^{2 n - 1} + a_{2 n - 1} - a_{2 n - 1} + a_{2 n - 2} 10^{2 n - 2} - a^{2 n - 2} + \\ + a_{2 n - 2} + ... + a_{3} 10^{3} + a_{3} - a_{3} + a_{2} 10^{2} - a_{2} + a_{2} + a_{1} 10 + a_{1} - a_{1} + a_{0} = \\ = a_{2 n} (10^{2 n} - 1) + a_{2 n - 1} (10^{2 n - 1} + 1) + a_{2 n - 2} (10^{2 n - 2} - 1) + ... + a_{3} (10^{3} + 1) + \\ + & a_{2} (10^{2} - 1) + a_{1} (10 + 1) + (a_{2 n} + a_{2 n - 2} + ... + a_{2} + a_{0}) - (a_{2 n - 1} + a_{2 n - 3} + ... + a_{3} + a_{1}) . \end{matrix}

Ezen összegben az első

2 n

számú tag a fentiek szerint osztható

11

-gyel, és így ha

N

-et elosztjuk

11

-gyel ugyanannyit kapunk maradékul, mintha az első

2 n

számú tag után következő különbséget osztanók

11

-gyel, ez a különbség pedig éppen a tételünkben szereplő különbség.

Megjegyzés: Ha e különbség negatív, akkor legegyszerűbben a

11

megfelelő többszörösének hozzáadásával kapjuk meg a pozitív maradékot. Pl.

19 082

esetén a különbség

3 - 17 = - 14

. Ez esetben

- 14 + 2 \cdot 11 = 8

a keresett maradék.

Biczó Géza (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

Elfogadtuk azokat a megoldásokat is, amelyek nem tartalmaztak általános bizonyítást.