Kezdőlap


Feladat:	471. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argyelán M. , Avvakumovits O. , Balatoni F. , Balázs B. , Bali Gy. , Bányai M. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beretvás T. , Biczó G. , Biró J. , Bp. XIII., Berzsenyi g. , Bp. XVI. Corvin Mátyás g. , Bujdosó Alpár , Celldömölk, Gábor Áron g. , Csáki Endre , Csiszár I. , Csonka P. , Czomba I. , Dancs I. , Deseő Z. , Drasny J. , Dömölki B. , Esztergom, I. István g. , Eördögh L. , Főző Éva , Frajka Z. , Fülöp János , Gaál I. , Gergely A. , Gergely P. , Grätzer Gy. , Gurmits F. , Gutay László , Gyapjas F. , Győr, Bencés g. , Gyurányi B. , Hoffmann S. , Holland J. , Horváth J. , Horváth Mária , Huszár k. , Jókay Z. , Kántor S. , Kapitány Gy. , Kartali L. , Kelényi Judit , Kéri J. , Klofszky E. , Kollár L. , Kovács L. (Esztergom, IV. o.) , Kovács László (Debrecen) , Könözsi B. , Kövecs J. , Lengyel Anna , Lipka I. , Magyary-Kossa M. , Marik M. , Micsei S. , Miklóssy T. , Mohos B. , Molnár Tivadar , Morva A. , Muzslay L. , Nagykanizsa, Irányi Dániel g. , Nálint Irma , Németh E. , Németh Gy. , Oláh I. , Pál E. , Pálla Gabriella , Papp Z. , Pergel J. , Pranecki E. , Quittner P. , Rédly E. , Reichlin-M. V. , Rékasi L. , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Rusznyák A. , Schmidt E. , Sohár P. , Sóti F. , Surányi P. , Szabados L. , Szabó D. , Szabó János , Szabó József (IV. o.) , Szini B. , Tahy P. , Telkes Z. , Theisz P. , Tilesch F. , Tisovszky J. , Tokai B. , Tokaji Béla , Varga Tünde , Vida Piroska , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zobor E.
Füzet:	1953/március, 76 - 79. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/szeptember: 471. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A triviális esetek kizárására és a megoldhatóságot szem előtt tartva, feltételezzük, hogy $a$ , $b$ és $c \neq 0$ és természetesen $p \neq 0$ .
Az egyenes akkor és csak akkor érinti a parabolát, ha a parabolával alkotott két metszéspontja egybeesik, vagyis ha az

\begin{matrix} y^{2} = 2 p x \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} - b y - c^{2} = a x \end{matrix}

(2)

egyenletrendszernek csak egy gyökpárja van.
Helyettesítsük (2)-ből

x

értékét (1)-be, nyerjük

\begin{matrix} y^{2} = - \frac{2 p (b y + c^{2})}{a} . \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} y^{2} + \frac{2 p b}{a} y + \frac{2 p c^{2}}{a} = 0, \end{matrix}

amely egyenletnek gyökei akkor esnek egybe, ha a diszkriminánsa

0

, vagyis

\begin{matrix} \frac{4 p^{2} b^{2}}{a^{2}} - \frac{8 p c^{2}}{a} = 0, \end{matrix}

amiből

(p \neq 0)

\begin{matrix} p = \frac{2 a c^{2}}{b^{2}} . \end{matrix}

Fülöp János (Bp. V., Piarista g. III. o. t.)

II. megoldás: Felhasználjuk, hogy a parabolát az

(x_{1} y_{1})

pontban érintő egyenes egyenlete

\begin{matrix} y_{1} y = p (x + x_{1}), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} y_{1} y - p x - p x_{1} = 0. \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} b y + a x + c^{2} = 0 \end{matrix}

(4)

egyenlet ugyancsak az érintő egyenlete. Tehát ha (4)-t egy alkalmas számmal megszorozzuk, akkor az együtthatók rendre megegyeznek (3) együtthatóival.
Szorozzuk meg (4)-t

\frac{y_{1}}{b}

-vel, nyerjük az

\begin{matrix} y_{1} y + \frac{a y_{1}}{b} x + \frac{c^{2} y_{1}}{b} = 0 \end{matrix}

egyenletet, melyben

y

együtthatója ugyanaz, mint az (3) egyenletben

y

együtthatója, következőleg a másik két együttható is megegyezik:

\begin{matrix} - p = \frac{a y_{1}}{b} \end{matrix}

és

\begin{matrix} - p x_{1} = \frac{c^{2} y_{1}}{b} . \end{matrix}

A két utóbbi összefüggésből kiszámítjuk az érintési pont koordinátáit:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{c^{2}}{a}, y_{1} = - \frac{b p}{a} . \end{matrix}

Az érintési pont rajta van a parabolán, tehát koordinátái kielégítik a parabola egyenletét:

\begin{matrix} \frac{b^{2} p^{2}}{a^{2}} = 2 p \frac{c^{2}}{a}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} p = \frac{2 a c^{2}}{b^{2}} . \end{matrix}

Csáki Endre (Győr, Révai g. IV. o. t.)

III. megoldás: Felhasználjuk azt a tételt, hogy a parabola csúcsérintője felezi bármely más érintőnek az érintési pont és a parabola tengelye közé eső szakaszát.
Eszerint az érintési pont abszcisszája: az érintő

x

tengelymetszete ellenkező jellel, vagyis

\begin{matrix} x_{1} = \frac{c^{2}}{a} . \end{matrix}

Az érintési pont ordinátája pedig az

y

tengelymetszet kétszerese, azaz

\begin{matrix} y_{1} = - \frac{2 c^{2}}{b} . \end{matrix}

Az érintési pont rajta van a parabolán stb. mint a II. megoldásban.

Molnár Tivadar (Kisvárda, Bessenyei g. IV. o. t.)

IV. megoldás: Felhasználjuk azt a tételt, hogy az érintő és csúcsérintő (

y

tengely) metszéspontjában az érintőre bocsátott merőleges áthalad a fókuszon. Ez más szóval azt jelenti, hogy az érintő

y

tengelymetszete, mint derékszögű háromszög magassága, mértani középarányos a

\frac{p}{2}

és az érintő

x

tengelymetszetének abszolút értéke között.
Tehát

\begin{matrix} \frac{c^{4}}{b^{2}} = \frac{p}{2} \cdot \frac{c^{2}}{a}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} p = \frac{2 a c^{2}}{b^{2}} \end{matrix}

Tokaji Béla (Debrecen, Ép. ip. techn. IV. o. t.)