Kezdőlap


Feladat:	466. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argyelán M. , Avvakumovits O. , Babos K. , Balatoni F. , Balázs B. , Balázs Sz. , Bali Gy. , Bányai M. , Bárdos A. , Bártfai P. , Bartha Judit , Bauer A. , Beleznay F. , Beretvás T. , Biczó G. , Bódás P. , Csáki E. , Csernyák L. , Csonka Pál , Czomba I. , Dabasy J. , Dancs J. , Deseő Z. , Drasny J. , Dömölki B. , Edvi Illés Judit , Eggenhofer B. , Elefanti Evelyne , Eördögh L. , Farkas E. , Farkasfalvy M. , Főző Éva , Fülöp J. , Fülöp Márta , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Gyenes Gy. , Gyurányi B. , Halász S. , Hammer E. , Hátsági V. , Hoffmann S. , Horváth Mária , Huszár k. , Jókay Z. , Kálmán György , Kántor S. , Kapitány Gy. , Kecskés K. , Kelemen M. , Kelényi Judit , Kézdy P. , Klofszky E. , Kocsis J. , Kollár L. , Kondorosi Erika , Kovács F. , Kovács László (Debrecen) , Kozma Évamária , Könözsy B. , Lackner Györgyi , Magyary-Kossa M. , Marik M. , Mercz F. , Mihalovits Kamilla , Miskovszky Gy. , Mohos B. , Molnár I. , Muzslay L. , Nagy B. , Németh Lehel , Németh P. , Névtelen , Pap A. , Papp Z. , Pátkai Gy. , Péntek L. , Pergel J. , Pranecki E. , Quittner P. , Radda Gy. , Rédly E. , Reichlin M. V. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Rusznyák A. , Sebők J. , Sohár P. , Sólyom J. , Sóti F. , Szabados L. , Szabó D. , Szabó I. , Szabó József (IV. o.) , Szabó M. , Szalay T. , Szendrei J. , Szilágyi Marianne , Szomor J. , Tahy P. , Theisz P. , Tilesch F. , Tisovszky J. , Tokaji Béla , Tomor B. , Tóth Ildikó , Varga Tünde , Vida Piroska , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zobor E.
Füzet:	1953/február, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Binomiális együtthatók, Maradékosztályok, Oszthatóság, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/szeptember: 466. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás.

\begin{matrix} 2^{3 n + 6} + 2^{3 n + 2} = 2^{6} \cdot {(2^{3})}^{n} + 3^{2} \cdot {(3^{4})}^{n} = 64 \cdot 8^{n} + 9 \cdot 81^{n} = \\ = (73 - 9) 8^{n} + 9 \cdot 81^{n} = 73 \cdot 8^{n} + 9 (81^{n} - 8^{n}) . \end{matrix}

Az első tag oszthatósága nyilvánvaló. De a második tag is osztható, mert

a^{n} - b^{n}

minden természetes

n

szám esetén osztható

(a - b)

-vel, ezért

81^{n} - 8^{n}

is osztható

81 - 8 = 73

-mal és így tételünket bebizonyítottuk.

Tokaji Béla (Debrecen, Ép. ip. techn. IV. o. t.)

II. megoldás.

\begin{matrix} N = 2^{3 n + 6} + 3^{4 n + 2} = 64 \cdot 8^{n} + 9 \cdot 81^{n} = 73 \cdot 8^{n} - 9 \cdot 8^{n} + 9 \cdot {(73 + 8)}^{n} . \end{matrix}

A binomiális tétel szerint

\begin{matrix} {(73 + 8)}^{n} = 73^{n} + (\binom{n}{1}) 73^{n - 1} \cdot 8 + ... + (\binom{n}{n - 1}) 73 \cdot 8^{n - 1} + 8^{n} = 73 A + 8^{n}, \end{matrix}

ahol

A

egész számot jelent.
Tehát

\begin{matrix} N = 73 \cdot 8^{n} - 9 \cdot 8^{n} + 9 \cdot 73 A + 9 \cdot 8^{n} = 73 (8^{n} + 9 A) . \end{matrix}

Kálmán György (Szolnok, Beloiannisz g. II. o. t.)

III. megoldás. Teljes indukcióval is bizonyíthatjuk tételünket.

\begin{matrix} n = 1 -re N = 2^{9} + 3^{6} = 512 + 729 = 1241 = 17 \cdot 73. \end{matrix}

Tegyük fel, hogy

n = k

-ra igaz állításunk, vagyis

\begin{matrix} 2^{3 k + 6} + 3^{4 k + 2} = 73 A, \end{matrix}

ahol

A

egész szám, akkor

n = k + 1

esetén

\begin{matrix} 2^{3 (k + 1) + 6} + 3^{4 (k + 1) + 2} = 2^{3} \cdot 2^{3 k + 6} + 3^{4} \cdot 3^{4 k + 2} = 8 \cdot 2^{3 k + 6} + 81 \cdot 3^{4 k + 2} = \\ 8 \cdot 2^{3 k + 6} + (73 + 8) 3^{4 k + 2} = 8 (2^{3 k + 6} + 3^{4 k + 2}) + 73 \cdot 3^{4 k + 2} = \\ 8 \cdot 73 A + 73 \cdot 3^{4 k + 2} = 73 (8 A + 3^{4 k + 2}) . \end{matrix}

Tehát ha

k

-ra igaz, akkor

(k + 1)

-re is igaz, de

k = 1

-re ‐ mint láttuk ‐ igaz és így minden természetes

n

számra igaz.

Csonka Pál (Bp. XI., József Attila g. IV. o. t.)