Feladat:	463. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajnogel J. ,  Balatoni F. ,  Bali Gy. ,  Beke Éva és Mária ,  Biczó G. ,  Csáki E. ,  Csanády S. ,  Deseő Z. ,  Durst E. ,  Gaál I. ,  Gergely A. ,  Grätzer Gy. ,  Gulyás l. ,  Gyapjas F. ,  Gyenes Gy. ,  Hartmann E. ,  Horváth J. ,  Horváth K. ,  Huszár k. ,  Kántor S. ,  Klofszky E. ,  Kovács L. ,  Lipka I. ,  Marik M. ,  Németh László ,  Pátkai Gy. ,  Rockenbauer Magda ,  Rozsondai B. ,  Schmidt E. ,  Szabó J. ,  Szathury Éva ,  Szuromi L. ,  Tilesch F. ,  Tomor B. ,  Veszprém Lovassy g. szakköre ,  Viski Mária ,  Zatykó L. ,  Zawadowski Alfréd.
Füzet:	1953/február, 47 - 48. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Kombinatorika, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 463. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{a)}{1\mathrm{,}02}^{30}={\left(1+2\cdot {10}^{-2}\right)}^{30}=1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{1}\right)2\cdot {10}^{-2}+1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2}\right)2^2\cdot {10}^{-4}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3}\right)2^3\cdot {10}^{-6}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{4}\right)2^4\cdot {10}^{-8}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{5}\right)2^5\cdot {10}^{-10}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{6}\right)2^6\cdot {10}^{-12}+\text{...}}\hfill \end{array}}$ Mivel a $\left(k+1\right)$-edik tag és a $k$-adik tag hányadosa $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{k}\right)2^k\cdot {10}^{-2k}:\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{k-1}\right)2^{k-1}\cdot {10}^{-2k+2}=\frac{31-k}{k}\cdot \frac{2}{{10}^2}=\frac{31-k}{50k}<\frac{1}{12}\mathrm{,}\text{ha k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>≧</mo></math>7,}}\end{array}$ azért a tagok állandóan csökkennek olymódon, hogy ha a $31$ tagból az utolsó $24$-et elhanyagoljuk, akkor az elkövetett hiba (durván becsülve) kisebb, mint az első elhagyott tag, vagyis a $8$-ik tag $\left(24\cdot \frac{1}{12}=\right)2$-szerese: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{7}\right)2^7\cdot {10}^{-14}\cdot 2=2035800\cdot 256\cdot {10}^{-14}<3\cdot {10}^6\cdot 3\cdot {10}^2\cdot {10}^{-14}=0\mathrm{,}000009.}\end{array}$ Tehát a hiba a $4$-ik tizedes jegyet nem befolyásolja. Eszerint tehát elég az első $7$ tagot, még pedig minden tagot külön-külön $5$ tizedes jegyre, kiszámítani: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{ 1}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 0,6}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 0,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 0,0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{8}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 0,0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{8}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 0,0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 0,0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill \\ {\displaystyle \text{1,8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>≈</mo></math> 1,8 1 1 4.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{b)}{0\mathrm{,}996}^{13}={\left(1-4\cdot {10}^{-3}\right)}^{13}=1-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{1}\right)4\cdot {10}^{-3}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{2}\right)4^2\cdot {10}^{-6}-\text{...}}\end{array}$ Mivel a tagok állandóan csökkenők és váltakozó előjelűek, azért az elkövetett hiba kisebb az első elhanyagolt tag abszolút értékénél. A negyedik tag $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{3}\right)4^3\cdot {10}^{-9}=286\cdot 64\cdot {10}^{-9}=0\mathrm{,}000018304}\end{array}$ a $4$-ik tizedes jegyet már nem befolyásolja, és így $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-0\mathrm{,}052+0\mathrm{,}001248=1\mathrm{,}001248-0\mathrm{,}052=0\mathrm{,}949248\approx 0\mathrm{,}9492.}\end{array}$