Kezdőlap


Feladat:	460. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Balatoni F. , Bali Gy. , Beke Éva és Mária , Csáki E. , Dancs I. , Deseő Zoltán , Durst E. , Gaál I. , Gyapjas F. , Horváth J. , Kántor S. , Klofszky E. , Lackner Györgyi , Németh László , Pátkai Gy. , Pergel J. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Szabó E. , Szabó J. , Száz K. , Tilesch F. , Tomor B. , Vigassy J. , Zatykó L.
Füzet:	1953/február, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Permutációk, Variációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 460. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $6$ különböző számjegyből ‐ mindegyik számjegy felhasználásával ‐ $6$ jegyű számok, csakis ismétlődő számjegyek nélkül képezhetők. Számuk $P_{6} = 6! = 720$ . Ha e $720$ számot az összeadásnál szokásos módon képzeljük egymás alá írva, akkor mindegyik oszlopban $5! = 120$ egyes, $120 kettes$ , $...$ , $120$ hatos lesz. Tehát mindegyik oszlop összege $120 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 120 \cdot 21 = 2520$ . A helyértékeket is figyelembe véve a keresett összeg:

\begin{matrix} 2520 (1 + 10 + 10^{2} + 10^{3} + 10^{4} + 10^{5}) = 2520 \cdot 111111 = 279 999 720. \end{matrix}

Elfogadtuk azokat a megoldásokat is, melyek az ismétlődést is megengedték. Ez esetben az alkotható számok száma

V_{6}^{i,6} = 6^{6}

és az összes számok összege

\begin{matrix} 6^{5} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) (1 + 10 + 10^{2} + 10^{3} + 10^{4} + 10^{5}) = \\ = 7776 \cdot 21 \cdot 111111 = 18 143 981 856. \end{matrix}

II. megoldás: Bármely permutációval vagy ismétléses variációval képezett számhoz tudunk egy olyan >>kiegészítő<< számot alkotni, hogy a szám és kiegészítő szám összege

777777

legyen

(pld. 241653 + 536124 = 777777vagy  443555 + + 334222 = 777777)

.
A kiegészítő szám ‐ mint könnyű belátható ‐ mindenkor szükségképpen szintén egy permutációja, illetőleg egy ismétléses variációja az adott

6

elemnek. Ha ezt az összes alkotható

6

-jegyű számmal megcsináljuk, akkor a nyert kiegészítő számok összessége nyilvánvalóan nem egyéb, mint az adott elemek összes lehetséges permutációi, illetőleg összes lehetséges ismétléses variációi. Tehát az összes alkotható számok és a hozzájuk tartozó összes kiegészítő számok összege a keresett összeg kétszerese.
Tehát csupa különböző jegyből álló számok esetén a keresett összeg:

\begin{matrix} 777777 \cdot \frac{6!}{2} = 777777 \cdot 360 = 279 999 720. \end{matrix}

(1)

Ismétlődő számjegyek esetén pedig:

\begin{matrix} 777777 \cdot \frac{6^{6}}{2} = 777777 \cdot 23328 = 18 143 981 856. \end{matrix}

(2)

Deseő Zoltán (Bp., X., I. László g. II. o. t.)

Megjegyzés: Az (1) és (2) alatti egyenlőségek baloldalai így is írhatók:

\begin{matrix} \frac{123456 + 654321}{2} \cdot 6! illetőleg \frac{111111 + 666666}{2} \cdot 6^{6} . \end{matrix}

Ezt az mutatja, hogy számsorozataink összege a számtani sorozat

\frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

képletéhez hasonlóan számítható ki, de maguk e számsorozatok nyilvánvalóan nem számtani haladványok.