Kezdőlap


Feladat:	458. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs B. , Bali Gy. , Biczó G. , Czomba I. , Dancs I. , Deseő Z. , Főző Éva , Gergely A. , Gutay L. , Gyapjas F. , Kántor S. , Kloszky E. , Kovács L. , Marik M. , Németh László , Pergel J. , Rockenbauer Magda , Schmidt E. , Szabó J. , Szathury Éva , Tilesch F. , Veszprém Lovassy g. szakköre , Vigassy J. , Viski Mária , Zawadowski Alfréd.
Füzet:	1953/február, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Projektív geometria, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 458. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az adott $F_{1}$ gyújtópontnak tükörképe $t_{1}$ -, $t_{2}$ - és $t_{3}$ -ra $G_{1}$ , $G_{2}$ , $G_{3}$ . E három pont által meghatározott vezérkörnek középpontja a másik fókusz $F_{2}$ és sugara $2 a$ , a nagytengely. Ezekkel az adatokkal az ellipszis már könnyen szerkeszthető, feltéve, hogy $F_{2}$ a vezérkörön belül van. A $G_{1} F_{2}$ , $G_{2} F_{2}$ és $G_{3} F_{2}$ egyenesek metszik a $t_{1}$ , $t_{2}$ , $t_{3}$ , érintőkből a $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ érintési pontokat.
Taglalás: Tehát mindig egy és csakis egy megoldás van, ha $F_{2}$ a vezérkörön belül van. Ha $F_{2} = F_{1}$ , akkor az ellipszis elfajul körré. Ha $F_{2}$ a vezérkörön kívül van, akkor ellipszis ugyan nem szerkeszthető, de hiperbola igen. Ha $F_{2}$ rajta van a vezérkörön, akkor $t_{1}$ , $t_{2}$ és $t_{3}$ egy ponton mennek át, mikor is semmiféle kúpszelet nem tehet eleget a követelményeknek. Végül hátra van még az az eset, amikor $G_{1}$ , $G_{2}$ és $G_{3}$ egy egyenesen vannak, vagyis amikor a vezérkör vezéregyenessé fajul. Ez esetben tehát parabola tesz eleget követelményeinknek.
Eszerint, ha feladatunkban >>ellipszis<< helyett >>kúpszelet<<-et írunk, akkor mindig van egy és csakis egy megoldás, feltéve, hogy az adott $3$ érintő nem megy át egy ponton. (Ezzel természetesen a $t_{1} ∥ t_{2} ∥ t_{3}$ eset is ki van zárva, mert ez esetben a $3$ érintő egy közös végtelenben fekvő ponton megy át.)

II. megoldás: Az

F_{1}

-ből a

t_{1}

t_{2}

és

t_{3}

érintőkre bocsátott merőlegesek talppontjai

T_{1}

T_{2}

és

T_{3}

meghatározzák a főkört. A főkör és

F_{1}

birtokában az ellipszis már könnyen szerkeszthető, feltéve, hogy

F_{1}

a főkörön belül van.
A taglalás teljesen hasonló az előbbihez.