|
| Feladat: |
457. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
| Megoldó(k): |
Bajnogel J. , Bányai M. , Biczó G. , Czomba I. , Dancs I. , Deseő Z. , Főző Éva , Gaál I. , Gergely A. , Gombosi Éva , Gutay L. , Gyapjas F. , Hadi I. , Hartmann E. , Horváth J. , Horváth K. , Kántor S. , Klofszky E. , Lábos E. , Lipka I. , Marik M. , Németh László , Németh P. , Pálla Gabriella , Pergel J. , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Szabó J. , Szabó Magdolna , Szathury Éva , Száz K. , Telkes Z. , Tilesch F. , Varga Tünde , Viski Mária , Zawadowski Alfréd |
| Füzet: |
1953/február,
42 - 43. oldal |
 PDF | MathML |
| Témakör(ök): |
Projektív geometria, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Parabola, mint kúpszelet, Feladat |
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1952/május: 457. matematika feladat |
|
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A parabola határesete az ellipszisnek és hiperbolának. Ellipszisre és hiperbolára vonatkozólag ismeretesek a következő tételek:
| 1) | Az érintő felezi az érintési ponthoz tartozó vezérsugarak szögét (hip.) illetőleg mellékszögét (ell.), amiből következik, hogy bármelyik fókusznak az érintőre vonatkozó tükörképe |
| a) | rajta van a másik fókuszhoz tartozó rádiuszvektoron vagy annak meghosszabbításán, és |
| b) | rajta van egy olyan körön, amelynek középpontja a másik fókusz és sugara . E körnek neve vezérkör. (Nevezik iránykör- vagy ellenkörnek is.) |
| 2) | A vezérkörnek arányú kicsinyítése, abból a fókuszból, mint hasonlósági centrumból, amely nem középpontja a vezérkörnek, olyan kör, amelynek középpontja tehát a két gyújtópont közti távolság felezőpontja (a kúpszelet középpontja), sugara a nagytengely (ell.) ill. főtengely (hip.) fele, és mely mértani helye a fókuszból az érintőkre bocsátott merőlegesek talppontjainak. E körnek neve főkör. |
Parabola esetén az egyik fókusz és a középpont a végtelenbe kerül, az egyik rádiuszvektorból a parabola főtengelyével párhuzamos egyenes lesz, a főkör csúcsérintővé válik és a vezérkör vezéregyenessé. Egyébként a fenti tételek érvényben maradnak.
Jelen feladatunkban a és érintőnek a csúcsérintővel való metszéspontjai , és a fókuszból az érintőkre bocsátott merőlegesek talppontjai. Ha tehát e pontokban az érintőkre merőlegeseket bocsátunk, akkor ezek metszéspontja szolgáltatja az fókuszt.
Mindig van egy és csakis egy megoldás, ha nem párhuzamos -vel, egyik sem merőleges -re és mindkettő a végesben metszi -t. -nek a és -re vonatkozó tükörképe , és a vezéregyenesen vannak. A és pontoknak összekötései a másik (végtelenben fekvő) gyújtóponttal ‐ jelen esetben tehát és -ből a csúcsponti érintőre bocsátott merőlegesek ‐ metszik ki a és érintőkből a és érintési pontokat.
|
|
