Kezdőlap


Feladat:	455. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bajnógel J. , Balatoni F. , Balázs B. , Bányai M. , Biczó G. , Csaba L. , Csáki E. , Czomba I. , Dancs I. , Daróczy L. , Durst Endre , Főző Éva , Francsics I. , Gaál I. , Gergely A. , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Hadi I. , Hartmann E. , Horváth J. , Horváth K. , Klofszky Emil , Marik M. , Németh László , Németh P. , Pálla Gabriella , Pap A. , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Schmidt E. , Szathury Éva , Tilesch F. , Tornyos F. , Viski Mária , Zatykó L.
Füzet:	1953/január, 23 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 455. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A kör egyenlete így is írható:

\begin{matrix} {(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 16, \end{matrix}

amiből a kör középpontja

O

(5, 6) és sugara

r = 4

.
A kör középpontján átmenő és az adott

y = 3 x

egyenesre merőleges egyenes:

\begin{matrix} y - 6 = - \frac{1}{3} (x - 5) \end{matrix}

(1)

metszi ki a körvonalból az érintési pontokat.
(1)-ből

\begin{matrix} x = 23 - 3 y, \end{matrix}

amely értéket a kör egyenletébe helyettesítve

\begin{matrix} {(18 - 3 y)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 16, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 10 y^{2} - 120 y + 344 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y_{1,2} = 6 \pm \frac{2}{5} \sqrt[]{10}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{1,2} = 23 - 18 \mp \frac{6}{5} \sqrt[]{10} = 5 \mp \frac{6}{5} \sqrt[]{10} . \end{matrix}

Tehát az érintési pontok:

\begin{matrix} E_{1} (5 - \frac{6}{5} \sqrt[]{10}, 6 + \frac{2}{5} \sqrt[]{10}) és E_{2} (5 + \frac{6}{5} \sqrt[]{10}, 6 - \frac{2}{5} \sqrt[]{10}) . \end{matrix}

E_{1}

ponton átmenő és az adott egyenessel párhuzamos egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y - 6 - \frac{2}{5} \sqrt[]{10} = 3 (x - 5 + \frac{6}{5} \sqrt[]{10}), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = 3 x - 9 + 4 \sqrt[]{10} . \end{matrix}

Hasonlóképpen nyerjük az

E_{2}

-n átmenő érintőt:

\begin{matrix} y = 3 x - 9 - 4 \sqrt[]{10} . \end{matrix}

Klofszky Emil (Győr, Révai g. III. o. t.)

II. megoldás: Legyen az érintő egyenlete

y = m x + b

. A párhuzamosság miatt

m = 3

. Az

y = 3 x + b

egyenes akkor érinti a kört, ha két egybeeső pontban metszi, vagyis ha

y

értékét behelyettesítjük a kör egyenletébe:

\begin{matrix} x^{2} + {(3 x + b)}^{2} - 10 x - 12 (3 x + b) + 45 = 0, \end{matrix}

(1)

az így nyert,

x

-re nézve, másodfokú egyenletnek diszkriminánsa 0.
Az (1) alatti egyenletet rendezve

\begin{matrix} 10 x^{2} + (6 b - 46) x + (b^{2} - 12 b + 45) = 0. \end{matrix}

A diszkrimináns:

\begin{matrix} {(6 b - 46)}^{2} - 40 (b^{2} - 12 b + 45) = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} b^{2} + 18 b - 79 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} b_{1,2} = - 9 + 4 \sqrt[]{10} . \end{matrix}

Tehát az érintők egyenletei:

\begin{matrix} y = 3 x - 9 + 4 \sqrt[]{10}, \\ y = 3 x - 9 - 4 \sqrt[]{10} . \end{matrix}

Durst Endre (Szolnok, Beloiannisz g. IV. o. t.)

III. megoldás: Az

y = 3 x + b

egyenes normál alakja

\begin{matrix} \frac{3 x - y + b}{\pm \sqrt[]{10}} = 0, \end{matrix}

b

-t úgy kell megválasztani, hogy ennek az egyenesnek az

O

(5, 6) ponttól való távolság 4 legyen, vagyis

\begin{matrix} \frac{15 - 6 + b}{\pm \sqrt[]{10}} = 4, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} b_{1,2} = - 9 \pm 4 \sqrt[]{10}, \end{matrix}

és így az érintők egyenlete:

\begin{matrix} y = 3 x - 9 + 4 \sqrt[]{10}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} y = 3 x - 9 - 4 \sqrt[]{10} . \end{matrix}

Rockenbauer Magda (Bp. X., I. László g. III. o. t.)