Kezdőlap


Feladat:	454. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajnógel J. , Balatoni F. , Balázs B. , Bali Gy. , Bányai M. , Biczó G. , Csaba L. , Csáki Endre , Czomba I. , Dancs I. , Deseő Z. , Durst E. , Főző Éva , Francsics I. , Gaál I. , Gergely A. , Gombosi Éva , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Gyenes Gy. , Hadi I. , Hartmann E. , Horváth J. , Horváth K. , Kondor gy. , Kovács L. , Lipka I. , Marik M. , Miklós Margit , Mohos B. , Németh László , Németh P. , Pálla Gabriella , Pergel J. , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Sárosdy J. , Schmidt Eligius , Schmidt Ibolya , Szabó J. , Szabó József , Szabó Magdolna , Szathury Éva , Tilesch F. , Tornyos F. , Viski M. , Zatykó L. , Zawadowski Alfréd
Füzet:	1953/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Háromszögek nevezetes tételei, Körülírt kör, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 454. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az oldalak metszéspontjai: $A$ (2, $- 3$ ), $B$ (5, 6), $C$ ( $- 2$ , $- 1$ ).
A $B C$ oldal felezőpontjának koordinátái: $\frac{5 - 2}{2}$ , $\frac{6 - 1}{2}$ , vagyis a felezőpont: $A_{1} (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ . Hasonlóképpen az $A C$ oldal felezőpontja: $B_{1}$ (0, $- 2$ ).

A_{1}

pontban a

B C

oldalra merőleges egyenes egyenlete

\begin{matrix} y - \frac{5}{2} = - (x - \frac{3}{2}), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} y = - x + 4. \end{matrix}

(1)

B_{1}

pontban az

A C

oldalra merőleges egyenes egyenlete

\begin{matrix} y + 2 = 2 (x - 0), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} y = 2 x - 2. \end{matrix}

(2)

(1) és (2)-ből adódik a két oldalt merőlegesen felező egyenesek metszéspontja, vagyis a körülírt kör középpontja:

K

(2, 2).
A kör sugarát megkapjuk, ha kiszámítjuk a középpont távolságát a háromszög egy tetszőleges csúcspontjától, pl.

B

(5, 6)-tól:

\begin{matrix} r^{2} = {(5 - 2)}^{2} + {(6 - 2)}^{2} = 25. \end{matrix}

Ezek szerint a kör egyenlete

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25. \end{matrix}

Csáki Endre (Győr, Révai g. III. o. t.)

II. megoldás: Legyen a keresett kör egyenlete

\begin{matrix} {(x - u)}^{2} + {(y - v)}^{2} = r^{2} . \end{matrix}

A

B

C

pontok a körön vannak, tehát koordinátáik kielégítik a kör egyenletét:

\begin{matrix} {(2 - u)}^{2} + {(- 3 - v)}^{2} = r^{2}, & (1) \\ {(5 - u)}^{2} + {(6 - v)}^{2} = r^{2}, & (2) \\ {(- 2 - u)}^{2} + {(- 1 - v)}^{2} = r^{2} . & (3) \end{matrix}

(1) és (2)-ből

\begin{matrix} u + 3 v = 8. \end{matrix}

(2) és (3)-ból

\begin{matrix} u + v = 4, \end{matrix}

E két egyenletből

\begin{matrix} u = 2 és v = 2. \end{matrix}

Ezen értékeket (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} r^{2} = {(2 - 2)}^{2} + {(- 3 - 2)}^{2} = 25, \end{matrix}

és így a kör egyenlete:

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25. \end{matrix}

Schmidt Eligius (Bp. I., Fürst S. g. II. o. t.)

III. megoldás: Legyen a kör egyenlete

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0. \end{matrix}

Behelyettesítve az

A

B

C

pontok koordinátáit:

\begin{matrix} 4 + 9 + 2 a - 3 b + c = 0, \\ 25 + 36 + 5 a + 6 b + c = 0, \\ 4 + 1 - 2 a - b + c = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} a = b = - 4. c = - 17, \end{matrix}

vagyis a kör egyenlete

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 17 = 0, \end{matrix}

ami megegyezik az előbbi eredménnyel.

Szabó József (Szolnok, Beloiannisz g. III. o. t.)