Kezdőlap


Feladat:	452. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Balázs B. , Bali Gy. , Bányai M. , Biczó G. , Csaba L. , Csáki E. , Dancs I. , Deseő Z. , Durst E. , Eöllös P. , Fekete Irén , Főző Éva , Fülöp J. , Gaál István , Gergely A. , Gombosi Éva , Grätzer Gy. , Gulyás l. , Gyapjas F. , Hadi I. , Hartmann E. , Horváth J. , Kálmán Gy. , Kántor Sándor , Klofszky E. , Kovács L. , Lipka I. , Marik M. , Pálla Gabirella , Pátkai Gy. , Pergel J. , Révi F. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Schmidt E. , Schmidt Ibolya , Szabó J. , Szuromi L. , Telkes Z. , Tomor B. , Tornyos F. , Veszprém, Lovassy L. g. , Viski Mária , Zawadowski Alfréd.
Füzet:	1953/január, 18 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Derékszögű háromszögek geometriája, Hozzáírt körök, Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Alakzatba írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 452. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A beírt kör érintési pontjai az oldalakat 2‐2 részre osztják (l. ábrát). E szakaszok közül $ϱ$ ismert, $x$ és $y$ ismeretlen.

Jelöljük a háromszög félkerületét

s

-sel, akkor

\begin{matrix} ϱ + x + y = s, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x + y = s - ϱ . \end{matrix}

(1)

Másrészt Pythagoras tétele alapján

\begin{matrix} {(ϱ + x)}^{2} + {(ϱ + y)}^{2} = {(x + y)}^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x y = ϱ (ϱ + x + y) = ϱ s . \end{matrix}

(2)

(1) és (2) alapján

x

és

y

\begin{matrix} z^{2} - (s - ϱ) z + ϱ s = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet 2 gyöke.

Tehát

\begin{matrix} x_{1} = y_{2} = \frac{(s - ϱ) + \sqrt[]{{(s - ϱ)}^{2} - 4 ϱ s}}{2}, \\ x_{2} = y_{1} = \frac{(s - ϱ) - \sqrt[]{{(s - ϱ)}^{2} - 4 ϱ s}}{2} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} a = x + ϱ = \frac{(s + ϱ) + \sqrt[]{{(s - ϱ)}^{2} - 4 ϱ s}}{2}, \\ b = y + ϱ = \frac{(s + ϱ) - \sqrt[]{{(s - ϱ)}^{2} - 4 ϱ s}}{2}, \\ c = x + y = s - ϱ . \end{matrix}

Jelen példánkban

s = 20

cm,

ϱ = 3

cm, és így

\begin{matrix} a = \frac{23 + \sqrt[]{289 - 240}}{2} = \frac{23 + 7}{2} = 15 cm, \\ b = \frac{23 - 7}{2} = 8 cm, \\ c = 20 - 3 = 17 cm . \end{matrix}

Gaál István (Csorna, Latinka S. g. II. o. t.)

II. megoldás: Rajzoljuk meg a háromszöghöz írt egyik kört is és jelöljük sugarát

r

-rel.

Az ábra szerint

\begin{matrix} (a - ϱ) : ϱ = (a + r) : r . \end{matrix}

(1)

Mivel a

B

pontból az

r

sugarú körhöz húzott két érintő összege egyenlő a háromszög kerületével, ezért

\begin{matrix} a + r = s és  így r = s - a . \end{matrix}

Ezen értékeket (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} (a - ϱ) : ϱ = s : (s - a), \end{matrix}

amiből az

\begin{matrix} a^{2} - (s + ϱ) a + 2 ϱ s = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk, amely

a

-ra ugyanazt az eredményt szolgáltatja, mint az I. megoldás.

Kántor Sándor (Debrecen, Ref. g. III. o. t.)