Kezdőlap


Feladat:	451. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Balázs B. , Bali Gy. , Bányai M. , Biczó G. , Csáki E. , Dancs I. , Durst E. , Főző Éva , Francsics I. , Gaál I. , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Horváth J. , Kántor Sándor , Klofszky Emil , Kondor gy. , Kovács L. , Marik M. , Mohos B. , Nagy B. , Németh László , Pálla Gabriella , Pap A. , Pergel F. , Révi Ferenc , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Schmidt E. , Szabó F. , Szabó Magdolna , Tilesch F. , Tomor B. , Varga Tünde , Viski M. , Zatykó L. , Zawadovski A.
Füzet:	1953/január, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 451. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás:

\begin{matrix} tg (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}) = \frac{tg \frac{π}{4} - tg \frac{x}{2}}{1 + tg \frac{π}{4} \cdot tg \frac{x}{2}} = \frac{1 - tg \frac{x}{2}}{1 + tg \frac{x}{2}} = \frac{cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2} + sin \frac{x}{2}} = \\ = \frac{(cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}) (cos \frac{x}{2} + sin \frac{x}{2})}{{(cos \frac{x}{2} + sin \frac{x}{2})}^{2}} = \\ = \frac{cos^{2} \frac{x}{2} - sin^{2} \frac{x}{2}}{cos^{2} \frac{x}{2} + sin^{2} \frac{x}{2} + 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}} = \frac{cos x}{1 + sin x} \end{matrix}

Révi Ferenc (Bp. XXI., 6. sz. gépip. techn. II. o. t.)

II. megoldás: Ismeretes, hogy

tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{1 - cos α}{1 + cos α}}

.
Tehát

\begin{matrix} tg (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}) = tg \frac{1}{2} (\frac{π}{2} - x) = \sqrt[]{\frac{1 - cos (\frac{π}{2} - x)}{1 + cos (\frac{π}{2} - x)}} = \\ = \sqrt[]{\frac{1 - sin x}{1 + sin x}} = \sqrt[]{\frac{(1 - sin x) (1 + sin x)}{{(1 + sin x)}^{2}}} = \frac{\sqrt[]{1 - sin^{2} x}}{1 + sin x} = \frac{cos x}{1 + sin x} . \end{matrix}

Klofszky Emil (Győr, Révai g. III. o. t.)

III. megoldás: Rajzoljuk az

x

szöget a szokásos módon az egység sugarú körbe:

O A = 1

A B = sin x

O B = cos x

(l. ábrát).

Ha a

B A

szakaszt

A

-n túl az egységgel meghosszabbítjuk, vagyis

A C = 1

, akkor az

O A C ▵

egyenlő szárú és így

A O C ∢ = A C O ∢ = α

. Ha

D O B ∢ = 90^{\circ}

, akkor

D O C ∢

, mint váltószög szintén egyenlő

α

-val, de akkor

2 α + x = \frac{π}{2}

és így

\begin{matrix} α = \frac{π}{4} - \frac{x}{2} . \end{matrix}

Az ábrából közvetlenül leolvasható:

\begin{matrix} tg α = tg (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}) = \frac{O B}{B C} = \frac{O B}{A C + A B} = \frac{cos x}{1 + sin x} . \end{matrix}

Kántor Sándor (Debrecen, Ref. g. III. o. t.)

Megjegyzés: Az ábra csak az I. negyedre szorítkozik, de könnyen általánosítható

x > \frac{π}{2}

-re is.