|
Feladat: |
450. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Balaton F. , Bali Gy. , Csaba L. , Csáki E. , Dancs I. , Deseő Z. , Durst I. , Főző Éva , Francsics I. , Fülöp J. , Gaál I. , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Gyenes Gy. , Hadi I. , Horváth J. , Huszár k. , Kántor S. , Kovács László , Lipka I. , Marik Miklós , Miklós Margit , Mohos B. , Nagy B. , Németh László , Révi F. , Rockenbauer Magda , Schmidt E. , Schmidt I. , Szabó J. , Szabó Magdolna , Tilesch F. , Tomor B. , Vigassy József , Zatykó L. , Zawadowski Alfréd |
Füzet: |
1953/január,
15 - 17. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1952/május: 450. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Mivel hegyesszög, azért egyenlőtlenségünk mindkét oldala pozitív, tehát négyzetre emelhető, vagyis elegendő a következő egyenlőtlenséget igazolni: De | | és így ami nyilván igaz. Az egyenlőségi jel akkor érvényes, ha .
Marik Miklós (Bp. I., Fürst S. g. II. o. t.) | II. megoldás: Az hegyesszög mindig ilyen alakban írható Tehát
(1) és (2) összege: Tehát lehető legnagyobb értéke , midőn , vagyis és így .
Zawadowski Alfréd (Bp. I., Petőfi g. III. o. t.) | III. megoldás: Vegyünk fel egy szakaszt és rajzoljuk meg azt a körívet, amelynek pontjaiból az távolság alatt látszik. (1. ábra.) 1. ábra Mivel a középponti szög , azért a látókörív sugara fölé derékszögű háromszöget szerkesztve, melynek -nál levő szöge tetszőleges , akkor és . Messe az befogó meghosszabbítása a látókörívet pontban, akkor a keletkezett derékszögű háromszög egyenlő szárú, mert , vagyis . Tehát . Ha változik, az húr is változik, de mindig kisebb marad az átmérőnél, -nél. A legnagyobb értéket akkor éri el, ha átmérő, vagyis és ez esetben . (Az 1. ábrából még leolvasható, hogy ha hegyesszög, akkor minimális értéke 1, midőn .)
Vigassy József (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.) | IV. megoldás: Próbáljuk grafikusan megoldani a egyenletet, ahol megadott konstans érték. (2. ábra) A -hez tartozó szöget úgy nyerjük, hogy a --os szög mozgó szárát önmagával párhuzamosan eltoljuk távolsággal. 2. ábra Az eltolt egyenes (ábránkon vonalkázva), általában 2 pontban metszi a negyedkört, tehát 2 megoldást kapunk -ra. A -t változónak tekintve, -ra hegyesszögű megoldás a változónak csak bizonyos intervallumában van: legkisebb értéke 1, mikor is és és legnagyobb értéke pedig midőn , vagyis az eltolt egyenes érinti a negyedkört. Ez esetben . Tehát ha hegyesszög Megjegyzés: Ha elejtjük azt a követelményt, hogy a hegyesszög, akkor ábránkból rögtön látható, hogy esetén van megoldás.
Kovács László (Debrecen, Ref. g. II. o. t.) |
|
|