Kezdőlap


Feladat:	449. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Balatoni F. , Bali György , Bányai M. , Dancs I. , Deseő Z. , Durst E. , Gaál I. , Horváth Jenő , Kálmán Gy. , Kántor S. , Klofszky E. , Kovács L. , Marik M. , Rockenbauer Magda , Schmidt E. , Szabó J. , Uray L. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd
Füzet:	1953/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Prímtényezős felbontás, Számelmélet alaptétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/május: 449. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük az összetett számot $N$ -nel és legyen a legkisebb törzsosztója $p$ , ekkor $N = p \cdot q$
Feltételünk szerint

\begin{matrix} p^{3} > N = p q \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} p^{2} > q \end{matrix}

(1)

q

összetett szám volna, pl.

q = q_{1} q_{2}

, ekkor a feltételünk értelmében

\begin{matrix} q_{1} \geq p, \end{matrix}

és

\begin{matrix} q_{2} \geq p, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} q_{1} q_{2} \geq p^{2} \end{matrix}

ami ellentmond az (1) alatti egyenlőtlenségnek. Tehát

q

szükségképpen prím szám.

Bali György (Gyöngyös, Vak Bottyán g. III. o. t)

II. megoldás: Tegyük fel, hogy

N

-nek van 3 törzsosztója:

\begin{matrix} p_{1} \leq p_{2} \leq p_{3}, ahol p_{1} p_{2} p_{3} \leq N . \end{matrix}

Feltételünk szerint

\begin{matrix} p_{1} > \sqrt[3]{N}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} p_{2} > \sqrt[3]{N}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} p_{3} > \sqrt[3]{N} . \end{matrix}

E három egyenlőtlenséget (melynek mindegyikében mindkét oldal pozitív) összeszorozva:

\begin{matrix} p_{1} p_{2} p_{3} > N \end{matrix}

ami nyilván ellentmondás, hiszen

p_{1} p_{2} p_{3} \leq N

Horváth Jenő (Celldömölk, Gábor Áron g. III. o. t.)