Kezdőlap


Feladat:	444. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs B. , Bártfai P. , Biczó G. , Csaba L. , Dancs I. , Durst E. , Horváth J. , Kántor Sándor , Marik M. , Németh László , Pék I. , Quittner P. , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Schmidt E. , Szabó J. , Szathury Éva , Szilágyi Z. , Tahy P. , Viski Mária
Füzet:	1952/november, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Háromszögek nevezetes tételei, Terület, felszín, Alakzatok mértéke, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/április: 444. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett $γ_{1} = γ + ε$ , ahol $ε$ jelenti a gömbháromszög gömbi feleslegét.
Kiszámítjuk a háromszög területét. $2 s = a + b + c = 58$ , és így $s = 29$ , $s - a = 8$ , $s - b = 9$ és $s - c = 12$ .

\begin{matrix} t = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} = \sqrt[]{29 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 12} = 12 \sqrt[]{174} . \end{matrix}

γ

szög kiszámítása most történhetik a terület felhasználásával:

\begin{matrix} t = \frac{a b sin γ}{2} = \frac{20 \cdot 21 sin γ}{2} = 12 \sqrt[]{174}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} sin γ = \frac{2 \sqrt[]{174}}{35}, \end{matrix}

vagy közvetlenül

\begin{matrix} cos^{2} \frac{γ}{2} = \frac{s (s - c)}{a b} = \frac{29 \cdot 12}{20 \cdot 21} = \frac{87}{105} . \end{matrix}

Mindkét esetben, log.-táblával számítva

\begin{matrix} γ = 48^{\circ} 54' . \end{matrix}

A feladat szerint a gömbháromszög területe egyezik a síkháromszög területével, tehát

\begin{matrix} \frac{r^{2} π ε}{180} = 12 \sqrt[]{174}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} ε = \frac{21, 6 \sqrt[]{174}}{π} = 90, 72^{\circ} = 90^{\circ} 43' 12'' \end{matrix}

és így

\begin{matrix} γ_{1} = γ + ε = 48^{\circ} 54' + 90^{\circ} 43' 12'' = 139^{\circ} 37' 12'' . \end{matrix}

Kántor Sándor (Debrecen, Ref. g. III. o. t.)