Kezdőlap


Feladat:	443. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bártfai P. , Bigisich F. , Csaba L. , Czomba I. , Dancs I. , Gergely A. , Gombosi Éva , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Gyenes Gy. , Horváth J. , Jászfalusi Henrik , Kántor S. , Kelényi Judit , Klofszky E. , Küttel I. , Lázár K. , Lipka I. , Marik M. , Mohos B. , Nagykanizsa, Irányi D. g. szakköre , Németh László , Pék I. , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Schmidt E. , Szabó D. , Szabó J. , Szabó Magdolna , Szathury Éva , Szilágyi Z. , Tahy P. , Telkes Z. , Tilesch F. , Tornyos F. , Varga Tünde , Veszprém, Lovassy g. szakköre , Vida Piroska , Zatykó L.
Füzet:	1952/november, 107. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Alakzatok mértéke, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/április: 443. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett szög a két görbe metszéspontjához tartozó érintők szöge. Meghatározzuk a két görbe metszéspontját. Az $y^{2} = 6 x$ értéket behelyettesítve a kör egyenletébe, kapjuk az

\begin{matrix} x^{2} + 6 x - 16 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletet, amelynek gyökei

x_{1} = 2

és

x_{2} = - 8

. Ennek folytán

y_{1,2} = \sqrt[]{6 \cdot 2} = \pm 2 \sqrt[]{3}

. Az

x_{2} = - 8

gyöknek nem felel meg valós metszéspont. Mivel mindkét görbe az

x

tengelyre szimmetrikus, azért elég a (2,

2 \sqrt[]{3}

) pontban az érintők szögét kiszámítani. A parabola ill. kör érintőjének egyenlete a görbe egy (

x_{1}

y_{1}

) pontjában

y_{1} y = p (x + x_{1})

ill.

x_{1} x + y_{1} y = r^{2}

, vagyis az érintők iránytangensei

\frac{p}{y_{1}}

ill.

- \frac{x_{1}}{y_{1}}

.
Tehát jelen esetben a parabola érintőjének iránytangense

m_{1} = \frac{p}{y_{1}} = \frac{3}{2 \sqrt[]{3}} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

, a kör érintőjéé pedig

m_{2} = - \frac{x_{1}}{y_{1}} = - \frac{2}{2 \sqrt[]{3}} = - \frac{\sqrt[]{3}}{3}

, és így a két érintő által bezárt

ω

szög iránytangense

\begin{matrix} tg ω = \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}} = \frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{5 \sqrt[]{3}}{3} = \frac{5}{\sqrt[]{3}}, \end{matrix}

amiből

ω = 70^{\circ} 54'

Jászfalusi Henrik (Jászapáti, Mészáros Lőrinc g. IV. o. t.)