Feladat: 442. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csaba L. ,  Csáki E. ,  Czomba I. ,  Dancs I. ,  Dömölki B. ,  Gutay L. ,  Gyapjas F. ,  Gyenes Gy. ,  Horváth J. ,  Huszár k. ,  Kelényi Judit ,  Klofszky F. ,  Küttel J. ,  Lázár K. ,  Németh László ,  Pálla Gabriella ,  Pék I. ,  Rockenbauer Magda ,  Rozsondai B. ,  Schmidt E. ,  Szabó Magdolna ,  Szilágyi Zoltán ,  Tornyos F. ,  Vanya Katalin ,  Varga Tünde ,  Vida Piroska ,  Zatykó L. 
Füzet: 1952/november, 105 - 107. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenesek egyenlete, Terület, felszín, Négyszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/április: 442. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha rendre ábrázoljuk az adott egyeneseket, akkor látjuk, hogy négyszögünk csúcspontjai:
  a& 4. és 1.egyenes  metszéspontjaA(2,5),  az 1. és 2.,,,,B(4,3),  a 2. és 3.,,,,C(12,54)  a 3. és 4.,,,,D(213,2313)   


Az ABC▵ 2-szeres területe
2t1=|2(3-54)+4(54-5)+12(5-3)|=|72-15+1|=|-212|=212,
és így
t1=214.
Az ACD▵ 2-szeres területe
2t2=|2(54-2313)+12(2313)-5+213(5-54)|=|2⋅65-9252+12⋅23-6513+213⋅154|==|-2726-4226+1516|=|-5426|=2713


és így
t2=2726.
Tehát a négyszög területe
t=t1+t2=214+2726=32752(=6+1552≈6,288).

Szilágyi Zoltán (Győr, Révai g. IV. o. t.)

 

 

II. megoldás: Ha a négyszög megadott oldalainak az y tengellyel való metszéspontjait rendre B1, B2, B3 és B4 gyel jelöljük, akkor a négyszög keresett területét úgy is megkaphatjuk, ha a B1B2B▵ területéből kivonjuk a B1B4A▵ és B3B2C▵ területét és ehhez hozzáadjuk az utóbbi két háromszög közös részének (melyet kétszeresen vontunk ki): a B3B4D▵ területét. E 4 háromszög területét azonban igen egyszerű kiszámítani, mert mindegyiknek egyik oldala az y tengelyen van és az ehhez az oldalhoz tartozó magasság egy‐egy csúcspont abszcisszája (a csúcspontok ordinátáira nincs is szükség), a B1, B2, B3 és B4 pontok ordinátái pedig az adott négyszög oldalak által az y tengelyből lemetszett részek. Tehát a keresett terület:
12(7-1)4-12(7-32)2-12(2-1)12+12(2-32)213=12-112-14+126=32752

Németh László (Gyula, Erkel F. g. IV. o. t.)
 

Megjegyés: Nem kevesebb, mint 29 megoldó hibázta el a numerikus számítást.