Feladat: 440. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Deseő Z. ,  Durst E. ,  Grätzer Gy. ,  Kántor S. ,  Klofszky E. ,  Lipka I. ,  Marik M. ,  Németh László ,  Rockenbauer Magda ,  Rozsondai B. ,  Schmidt E. ,  Szabó D. 
Füzet: 1952/november, 104 - 105. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Alakzatok mértéke, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/április: 440. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két esetet kell megkülönböztetnünk: a) Az egyik pont a másik három pont alkotta háromszögön belül van. b) A négy pont konvex négyszöget alkot.
a) A betűzést az 1. ábra mutatja.

 

 

Azt kell bizonyítanunk az A pontnál keletkezett α és β szögekre, hogy α+β=180∘. Mivel ADBR húrnégyszög, azért a DBP∢, mint az a szöggel szemben fekvő külső szög, szintén α. Ugyanígy ADCQ is húrnégyszög és így DCP∢=β. De PCDB is húrnégyszög és így α+β=180∘.
 

b) A betűzést a 2. ábra mutatja.
 
 

Be kell bizonyítani, hogy az RAD∢=α szög egyenlő a QAD∢=β szöggel. Az RAD∢, mint a k3 kör kerületi szöge egyenlő az RBD∢-gel, vagyis RBD∢=α. Az ADCQ húrnégyszög és így DCQ∢=180-β. De DCQ∢≡DCP∢=DBP∢, mint kerületi szögek a k1 körben. Tehát DBP∢=180-β. Mivel a P, B, R pontok a feltétel szerint egy egyenesen vannak, azért a B pontnál keletkezett két szög összege α+(180∘-β)=180∘, amiből α=β.
 

Németh László (Gyula, Erkel F. g. IV. o. t.)