Kezdőlap


Feladat:	439. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs B. , Bártfai Pál , Csáki E. , Dömölki B. , Gutay L. , Gyapjas F. , Horváth J. , Horváth Mária , Jászfalusi H. , Magyar Kálmán , Németh László , Pálla Gabriella , Pék I. , Rockenbauer Magda , Rozsondai B. , Sárosdy J. , Schmidt E. , Soós Klára , Száz K. , Szilágyi Z. , Tahy P. , Telkes Z. , Tilesch F. , Vida Piroska , Zatykó L.
Füzet:	1952/november, 103 - 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Hossz, kerület, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/április: 439. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keresett befogókat $a$ -val és $b$ -vel és írjunk az egyszerűség kedvéért $f_{b}$ helyett $f$ -et.
Ismert összefüggés szerint

\begin{matrix} cos β = 2 cos^{2} \frac{β}{2} - 1, de cos β = \frac{a}{c} és cos \frac{β}{2} = \frac{a}{f}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \frac{a}{c} = \frac{2 a^{2}}{f^{2}} - 1, \end{matrix}

ami

a

-ra nézve másodfokú egyenlet.
Rendezve

\begin{matrix} 2 c a^{2} - f^{2} a - f^{2} c = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a = \frac{f^{2} \pm \sqrt[]{f^{4} + 8 f^{2} c^{2}}}{4 c} = \frac{f^{2} \pm f \sqrt[]{f^{2} + 8 c^{2}}}{4 c}, \end{matrix}

Mivel a negatív gyöknek nincs értelme, azért

\begin{matrix} a = \frac{8, 7^{2} + 8, 7 \sqrt[]{8, 7^{2} + 8 \cdot 12, 4^{2}}}{4 \cdot 12, 4} = \frac{75, 69 + 8, 7 \sqrt[]{1305, 77}}{49, 6} \approx 7, 865 cm \\ b = \sqrt[]{12, 4^{2} - 7, 865^{2}} = \sqrt[]{20, 265 \cdot 4, 535} \approx 9, 590 cm . \end{matrix}

Bártfai Pál (Bp. IX. Ref. g. I. o. t.)