Kezdőlap


Feladat:	438. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Balázs B. , Bártfai P. , Bp., VII. ip. tech. szakköre , Bp., XIX. Dolg. g. szakköre , Csáki E. , Dancs I. , Deseő Z. , Dobó A. , Durst E. , Dömölki B. , Főző Éva , Gergely A. , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Gyenes Gy. , Horváth J. , Kántor S. , Kelényi Judit , Klofszky F. , Kovács Gy. , Lábos E. , Lázár K. , Magyar Kálmán , Marik M. , Mohos B. , Nagykanizsa, Irányi g. szakköre , Németh Gy. , Németh László , Pap A. , Pergel J. , Rockenbauer Magda , Rozsondai Béla , Schmidt E. , Szabó D. , Szabó J. , Szabó Magdolna , Szathury Éva , Szilágyi Z. , Telkes Z. , Tilesch F. , Tornyos F. , Vanya Katalin , Varga Tünde , Veszprém, Lovassy g. szakköre
Füzet:	1952/november, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/április: 438. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A számlálót szorzattá alakítva a $cos x + cos y = 2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2}$ képlet alapján:

\begin{matrix} \frac{2 cos \frac{3 α + α}{2} cos \frac{3 α - α}{2}}{2 cos^{3} α - 2 sin^{2} α cos α} = \frac{2 cos 2 α cos α}{2 cos α (cos^{2} α - sin^{2} α)} = \frac{2 cos 2 α cos α}{2 cos α cos 2 α} = 1. \end{matrix}

b) Ismeretes, hogy

cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y

, azért fordítva

cos (α + β) cos α + sin (α + β) sin α = cos [(α + β) - α] = cos β

, és így kifejezésünk

\begin{matrix} \frac{cos β}{cos β} = 1. \end{matrix}

\begin{matrix} sin 3 α = sin (2 α + α) = sin 2 α cos α + cos 2 α sin α = 2 sin α cos^{2} α + (cos^{2} α - sin^{2} α) sin α = \\ = 2 sin α (1 - sin^{2} α) + (1 - 2 sin^{2} α) sin α = \\ = 2 sin α - 2 sin^{3} α + sin α - 2 sin^{3} α = 3 sin α - 4 sin^{3} α . \\ cos 3 α = cos (2 α + α) = cos 2 α cos α - sin 2 α sin α = (cos^{2} α - sin^{2} α) cos α - 2 sin^{2} α cos α = \\ = cos^{3} α - (1 - cos^{2} α) cos α - 2 (1 - cos^{2} α) cos α = \\ = cos^{3} α - cos α + cos^{3} α - 2 cos α + 2 cos^{3} α = 4 cos^{3} α - 3 cos α . \end{matrix}

Az így nyert értékeket kifejezésünkbe helyettesítve

\begin{matrix} \frac{3 sin α - 4 sin^{3} α + 4 sin^{3} α}{4 cos^{3} α - 3 cos α - 4 cos^{3} α} + tg α = \frac{3 sin α}{- 3 cos α} + tgα = - tg α + tg α = 0. \end{matrix}

Rozsondai Béla (Sopron, Széchenyi g. III. o. t.)