Kezdőlap


Feladat:	437. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bártfai P. , Bujdosó A. , Csáki E. , Dancs I. , Durst E. , Huszár k. , Kardos P. , Németh László , Rockenbauer Magda , Tilesch F. , Zobor E.
Füzet:	1952/november, 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Variációk, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 437. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Ismétléssel alkotható összesen $V_{6}^{i,6}$ számú csoport, de ezekből el kell hagyni azokat, amelyek 0-val kezdődnek. Utóbbi annyi van, ahány 5-öd osztályú füzet alkotható ismétléssel az adott 6 elemmel, vagyis $V_{6}^{i,5}$ . Tehát az adott számjegyekből ismétléssel képezhető 6-jegyű számok száma

\begin{matrix} V_{6}^{i,6} - V_{6}^{i,5} = 6^{6} - 6^{5} = 6^{5} (6 - 1) = 7776 \cdot 5 = 38 880. \end{matrix}

Ezek között a variációk között akadnak ismétlés nélküli csoportok is, amelyek nem egyebek, mint az adott 6 elem permutációi, elhagyva belőlük a 0-val kezdődőket. Az adott elemekből képezhető csupa különböző jegyből álló 6-jegyű számok száma tehát

\begin{matrix} P_{6} - P_{5} = 6! - 5! = 720 - 120 = 600. \end{matrix}

Tehát az adott elemekből alkotható, legalább egy ismétlődő számjegyet tartalmazó 6-jegyű számok száma

\begin{matrix} 38 880 - 600 = 38 280. \end{matrix}

b) Az adott számjegyekből képezhető csupa különböző jegyből álló 6-jegyű számok száma ‐ mint láttuk ‐ 600. Ebből a számból le kell vonni a 4-gyel osztható számok számát. 4-gyel oszthatók a 60, 16, 56, 76 és 96-ra végződő számok. 60-ra annyi szám végződik, ahány permutáció alkotható az 1, 2, 3, 4 elemekből, vagyis

4! = 24

. Az utolsó négyféle végződésű szám mindegyikéből annyi van, ahány 4-jegyű szám képezhető a maradék 4 jegyből, melyek közül az egyik mindig 0. Utóbbiak száma

4! - 3! = 24 - 6 = 18

, mert el kell tekinteni a 0-val kezdődő csoportoktól. Tehát a 4-gyel osztható számok száma

24 + 4 \cdot 18 = 96

, és így az adott számjegyekből alkotható, csupa különböző jegyből álló és 4-gyel nem osztható számok száma

600 - 96 = 504

Rockenbauer Magda (Bp. X., I. László g. III. o. t.)