Kezdőlap


Feladat:	436. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Balázs B. , Bálint T. , Bártfai P. , Csáki E. , Dancs I. , Deseő Z. , Durst E. , Németh László , Rédly E. , Szabó D. , Szabó J. , Szekerka P. , Tahy P. , Tilesch F. , Tomor Benedek , Zatykó L.
Füzet:	1952/november, 101. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Variációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 436. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) 28 tanulóból kell 4 jutalomhoz 4 tanulót kiválasztani. Mivel a jutalomdíjak mind egyenlők, a kiválasztott tanulók sorrendje nem számít, tehát kombinációkról van szó, mégpedig ismétlés nélküli kombinációkról, mert egy tanuló egynél több jutalmat nem kaphat.
Tehát

\begin{matrix} C_{28}^{4} = (\binom{28}{4}) = \frac{28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 25 = 20 475. \end{matrix}

b) Ugyanaz mint az előbbi eset, de most ismétléses kombinációkról van szó, tehát

\begin{matrix} C_{28}^{i,4} = \frac{28 \cdot 29 \cdot 30 \cdot 31}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 7 \cdot 29 \cdot 5 \cdot 31 = 31 465. \end{matrix}

c) Mivel a jutalmak mind különbözőek, most már a kiválasztott tanulók sorrendje is számít, tehát variációkról, még pedig ismétlés nélküli variációkról van szó, tekintve, hogy egy tanuló legfeljebb egy jutalmat kaphat.

\begin{matrix} V_{28}^{4} = 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 = 491 400. \end{matrix}

Végül a d) esetben ismétléses variációkkal van dolgunk, vagyis

\begin{matrix} V_{28}^{i,4} = 28^{4} = 784^{2} = 614 656. \end{matrix}

Tomor Benedek (Győr, Révai Miklós g. II. o. t.)