Kezdőlap


Feladat:	434. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Balatoni F. , Balázs B. , Bálint F. , Bártfai P. , Bujdosó A. , Csáki E. , Dancs I. , Deseő Z. , Durst E. , Grätzer Gy. , Horváth J. , Huszár k. , Kántor S. , Kardos P. , Klofszky E. , Kristóf T. , Mohos B. , Németh László , Pataki Gy. , Pergel J. , Rédly E. , Reichlin V. , Rejtő P. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Schmidt E. , Sohár P. , Szabó D. , Szathury Éva , Szekerka P. , Tahy P. , Tilesch F. , Tomor B. , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/november, 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 434. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Már az $(a + b)$ négyzeténél, köbénél és 7-ik hatványánál észrevehettük, hogy az együtthatók sora balról jobbra olvasva ugyanaz, mint jobbról balra olvasva. Ez természetesen következik a szimmetriaviszonyokból, t. i. abból, hogy ${(a + b)}^{n} = {(b + a)}^{n}$ . De közvetlenül is bebizonyíthatjuk, hogy az elölről számított $(k + 1)$ -edik tag együtthatója $(\binom{n}{k})$ egyenlő a hátulról számított $(k + 1)$ -edik binomiális együtthatóval $(\binom{n}{n - k})$ -val, ahol $k = 0, 1, 2, ..., n$ .

\begin{matrix} k = 0 és k = n esetén (\binom{n}{0}) = 1 = (\binom{n}{n}) \\ k = 1, 2, ..., (n - 1) esetén pedig \\ (\binom{n}{k}) = C_{n}^{k} = \frac{V_{n}^{k}}{k!} és mivel V_{n}^{k} = \frac{P_{n}}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} . \end{matrix}

Ha itt most

k

helyett

(n - k)

-t írunk, akkor a nevező két tényezője cserélődik fel:

\begin{matrix} (\binom{n}{n - k}) = \frac{n!}{(n - k)! [n - (n - k)]!} = \frac{n!}{(n - k)! k!} = (\binom{n}{k}) \end{matrix}

Hogy

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

, vagyis

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}

abból az egyszerű meggondolásból is következik, hogy

n

elemből annyiféleképpen lehet

k

elemet kiválasztani, ahányféleképpen

(n - k)

elemet visszahagyni és fordítva.¹

Ha az

(\binom{n}{k})

szimbólumban

k > \frac{n}{2}

, akkor természetesen előnyösebb

(\binom{n}{k})

helyett a vele egyenlő

(\binom{n}{n - k})

-t kiszámítani. Pld.

(\binom{7}{5}) = (\binom{7}{2}) = \frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 21

(\binom{9}{8}) = (\binom{9}{1}) = 9

stb.

¹Ezzel megoldását adtuk a 434. sz. feladatnak.