Kezdőlap


Feladat:	433. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biczó G. , Bujdosó A. , Csáki E. , Dancs I. , Horváth J. , Huszár k. , Klofszky F. , Marik M. , Németh László , Rockenbauer Magda , Szekerka Pál , Tahy P. , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/november, 99 - 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Permutációk, Terület, felszín, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 433. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 24 elemű permutációk száma $P_{24} = 24$ ! Ezeknek leírásához a feladat szerint 24! $24 {cm}^{2} = 24 \cdot 24$ ! $10^{- 10} {km}^{2}$ terület szükséges. A Föld felszíne $4 r^{2} π = 4 \cdot 6370^{2} π = 4 \cdot 10^{2} \cdot 637^{2} π {km}^{2}$ . Tehát a keresett hányados

\begin{matrix} x = \frac{24 \cdot 24! 10^{- 10}}{4 \cdot 10^{2} \cdot 637^{2} \cdot π} = \frac{6 \cdot 24! 10^{- 12}}{637^{2} π} \end{matrix}

Igyekeznünk kell e számot olyan pontosan kiszámítani, amennyire azt 4-jegyű táblánk megengedi. A tört egyszerűsítése csak idővesztés. (Még nagyobb idővesztés 24!-nak törzstényezős előállítására áttérni, mert a tört egyszerűsítése után ‐ hibacsökkentés céljából, valamint időmegtakarítás szempontjából is ‐ megint csak célszerű részletszorzatokra áttérni.)
Először

lg 6 \cdot 24!

-t számítjuk ki. A hiba csökkentése céljából, de időmegtakarítás szempontjából is, ajánlatos részletszorzatokat tábla nélkül meghatározni, de csak annyira, hogy e részletszorzatok 4-nél több értékes jegyet ne tartalmazzanak. Tehát

6 \cdot 24! = 8! \cdot (9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12) \cdot (13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16) \cdot (17 \cdot 18 \cdot 19) \cdot (20 \cdot 21 \cdot 22) \cdot (23 \cdot 24 \cdot 6) = 40320 \cdot 11880 \cdot 43680 \cdot 5814 \cdot 9240 \cdot 3312

.
Ha e 6 tényező logaritmusait összeadjuk, nyerjük, hogy

lg 6 \cdot 24! = 24, 5709

. Ezek után kiszámíthatjuk

x

-et. (

2 lg 637

helyett pontosabb

lg 405769 \approx lg 405800

\begin{matrix} \begin{matrix} lg 6 \cdot 24! \cdot 10^{- 12} = 12, 5709 \\ - {\begin{matrix} lg 4058 \cdot 10^{2} = 5, 6083 \\ lg π = 0, 4971 \end{matrix} \\ lg x = 6, 4655, \\ lg x = 2921000. \end{matrix} \end{matrix}

Tehát az összes szóban forgó permutáció leírásához a Föld felszínének 2921000-szeresére volna szükség. (Hatjegyű táblával számítva

x = 2920570

Szekerka Pál (Bp. VI. Kölcsey g. IV. o. t.)

Megjegyzés: Csodálkoznunk kell azon, hogy a megoldók nagyobb része nem használt logaritmus‐táblát, hanem időrabló számításokat végzett és amellett gyakran pontatlan eredményt kapott, mert a

π

-t

3, 14

-nek vette.