Kezdőlap


Feladat:	432. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs B. , Biczó G. , Bogisich F. , Bujdosó A. , Dancs I. , Durst Endre , Kántor S. , Kardos P. , Klofszky E. , Kovács L. , Németh László , Pataki Gy. , Rédly E. , Rockenbauer Magda , Szathury Éva , Szilágyi Z. , Telkes Z. , Tilesch F. , Turi I. , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/november, 98 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körhengerek, Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 432. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keletkező forgástestek felszínét és köbtartalmát rendre $F_{a}$ , $F_{b}$ , $F_{c}$ -vel, iII. $K_{a}$ , $K_{b}$ , $K_{c}$ -vel.
a) A derékszögű háromszöget az $A$ csúcsponton átmenő, az $a$ befogóval párhuzamos tengely körül forgatva, az $a$ befogó egy forgáshenger‐palástot, a $b$ befogó körlapot, a $c$ átfogó pedig forgáskúp‐palástot ír le.

Tehát

F_{a} = 2 b π \cdot a + b^{2} π + b c π = b π (2 a + b + c)

A keletkezett forgástest köbtartalma egy forgáshenger és egy forgáskúp különbségeként adódik. A kúp a hengernek

\frac{1}{3}

része, tehát a forgástest keresett köbtartalma a henger köbtartalmának

\frac{2}{3}

-ad része, vagyis

\begin{matrix} K_{a} = \frac{2}{3} b^{2} π \cdot a = \frac{2}{3} a b^{2} π . \end{matrix}

b) Hasonlóképpen nyerjük, hogy

\begin{matrix} F_{b} = 2 a π \cdot b + a^{2} π + a c π = a π (a + 2 b + c) \end{matrix}

és

\begin{matrix} K_{b} = \frac{2}{3} a^{2} b π . \end{matrix}

c) A

C

csúcsponton átmenő és a

c

átfogóval párhuzamos egyenes körül forgatva a háromszöget, az

a

és

b

befogók forgáskúp‐palástot, a

c

átfogó pedig forgáshenger‐palástot ír le, mely kúpok, ill. henger alapkörének sugara az átfogóhoz tartozó magasság:

m

. Tehát

\begin{matrix} F_{c} = a m π + b m π + 2 m π \cdot c = m π (a + b + 2 c) . \end{matrix}

De mivel derékszögű háromszögünknek kétszeres területe

c m = a b

, azért

m = \frac{a b}{c}

és így

\begin{matrix} F_{c} = \frac{a b π}{c} (a + b + 2 c) . \end{matrix}

K_{c}

pedig az előbbiek alapján ismét a

c

oldal által leirt forgáshenger köbtartalmának

\frac{2}{3}

-ad része, vagyis

\begin{matrix} K_{c} = \frac{2}{3} m^{2} π \cdot c = \frac{2}{3} \cdot \frac{a^{2} b^{2}}{c^{2}} \cdot π c = \frac{2}{3} \cdot \frac{a^{2} b^{2} π}{c} . \\ Ha a = b, akkor c = a \sqrt[]{2}, és így \\ F_{a} = F_{b} = a π (3 a + a \sqrt[]{2}) = a^{2} π (3 + \sqrt[]{2}), \end{matrix}

és

\begin{matrix} F_{c} = \frac{a^{2} π}{a \sqrt[]{2}} (2 a + 2 a \sqrt[]{2}) = 2 a^{2} π \frac{1 + \sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}} = a^{2} π (2 + \sqrt[]{2}) . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} F_{a} : F_{a} : F_{c} = 1 : 1 : \frac{2 + \sqrt[]{2}}{3 + \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{2 + \sqrt[]{2}}{3 + \sqrt[]{2}} = \frac{(2 + \sqrt[]{2}) (3 - \sqrt[]{2})}{9 - 2} = \frac{4 + \sqrt[]{2}}{7}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} F_{a} : F_{b} : F_{c} = 1 : 1 : \frac{4 + \sqrt[]{2}}{7} (\sim 0, 7735) . \end{matrix}

Ugyancsak

a = b

esetén

\begin{matrix} K_{a} = K_{b} = \frac{2}{3} a^{3} π, \end{matrix}

és

\begin{matrix} K_{c} = \frac{2}{3} \frac{a^{4} π}{a \sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{3} a^{3} \cdot π . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} K_{a} : K_{b} : K_{c} = 1 : 1 : \frac{\sqrt[]{2}}{2} (\sim 0, 7071) . \end{matrix}

Durst Endre (Szolnok, Beloiannisz g. IV. o. t.)