Kezdőlap


Feladat:	430. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Durst E. , Horváth J. , Kántor S. , Kardos P. , Klofszky E. , Nagykanizsa, Irányi D. g. szakköre , Németh László , Rejtő P. , Rockenbauer Magda , Schmidt E. , Szabó Dániel , Szabó J. , Szathury Éva , Szekerka P. , Szilágyi Z. , Tilesch F. , Turi I. , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/november, 96 - 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Húrnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 430. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyszög csúcspontjait az $a$ és $d$ oldal közös $A$ pontjából kiindulva $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel. Ismeretes, hogy a húrnégyszögben a szemben fekvő szögek összege $180^{\circ}$ , tehát a $C ∢ = 180 - α$ . Mivel ${tg}^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{1 + cos α}$ , azért $cos α$ -t kell az oldalakkal kifejezni.

A B D_{▵}

és

C B D_{▵}

háromszögekből a közös

B D

oldalt cosinus tétellel kifejezve,
egyrészt

\begin{matrix} B D^{2} = a^{2} + d^{2} - 2 a d cos α, \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} B D^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (180 - α) = b^{2} + c^{2} + 2 b c cos α . \end{matrix}

A baloldalak egyenlőségéből következik a jobboldalak egyenlősége:

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} + 2 b c cos α = a^{2} + d^{2} - 2 a d cos α, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (2 b c + 2 a d) cos α = a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} cos α = \frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 a d + 2 b c} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

\begin{matrix} 1 - cos α = \frac{2 a d + 2 b c - a^{2} - d^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 a d + 2 b c} = \frac{{(b + c)}^{2} - {(a - d)}^{2}}{2 a d + 2 b c}, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} 1 + cos α = \frac{2 a d + 2 b c + a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 a d + 2 b c} = \frac{{(a + d)}^{2} - {(b - c)}^{2}}{2 a d + 2 b c} \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} {tg}^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{1 + cos α} = \frac{{(b + c)}^{2} - {(a - d)}^{2}}{{(a + d)}^{2} - {(b - c)}^{2}} = \frac{(b + c + a - d) (b + c - a + d)}{(a + d + b - c) (a + d - b + c)} = \\ = \frac{(2 s - 2 d) (2 s - 2 a)}{(2 s - 2 c) (2 s - 2 b)} = \frac{(s - a) (s - d)}{(s - b) (s - c)} . \end{matrix}

Szabó Dániel (Esztergom, I. István g. III. o. t.)