Kezdőlap


Feladat:	428. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs B. , Bálint T. , Csáki E. , Dancs I. , Deseő Z. , Durst E. , Horváth Jenő , Káli F. , Kántor S. , Kardos Péter , Klofszky E. , Németh László , Pataki Gy. , Pergel J. , Rejtő P. , Rockenbauer Magda , Schmidt E. , Szabó D. , Szabó J. , Szekerka P. , Szilágyi Z. , Viski Mária , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/november, 95 - 96. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Súlyvonal, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 428. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek az $A B C_{▵}$ súlyvonalai rendre $s_{a}$ , $s_{b}$ , $s_{c}$ , súlypontja $S$ . Jelölje a súlyvonalak által bezárt hegyes szögeket rendre $δ_{1}$ ( $s_{b}$ és $s_{c}$ szöge), $δ_{2}$ ( $s_{a}$ és $s_{c}$ szöge) és $δ_{3}$ ( $s_{a}$ és $s_{b}$ szöge). (L. ábrát.) Az $S$ pont centrális tükörképe az $A B$ oldal felezőpontjára nézve legyen $S'$ .

A bebizonyítandó tételünk

\begin{matrix} \frac{s_{a}}{sin δ_{1}} = \frac{s_{b}}{sin δ_{2}} = \frac{s_{c}}{sin δ_{3}}, \end{matrix}

vagyis másképpen írva

\begin{matrix} s_{a} : s_{b} : s_{c} = sin δ_{1} : sin δ_{2} : sin δ_{3} . \end{matrix}

A S B S'

négyszög paralelogramma, mert az átlók felezik egymást. Az

S S' B_{▵}

-ben az

S ∢ = δ_{1}

, az

S' ∢ = δ_{2}

(mint váltószög) és a

B ∢ = δ_{3}

(mint megfelelő szög). Az

S S' B_{▵}

oldalai pedig rendre a súlyvonalak

\frac{2}{3}

-ad részei, mert ismeretes, hogy a

S

a súlyvonalakat

2 : 1

arányban osztja. Az

S S' B_{▵}

-re alkalmazott sinus-tétel szolgáltatja tételünk állítását.

Horváth Jenő (Celldömölk, Gábor Áron g. III. o. t.)

II. megoldás: Ha az

A B C_{▵}

területét

T

-vel, a

B C S_{▵}

A C S_{▵}

és

A B S_{▵}

háromszögek területeit pedig rendre

t_{1}

t_{2}

, ill.

t_{3}

-mal jelöljük, akkor ismeretes, hogy

\begin{matrix} t_{1} = t_{2} = t_{3} = \frac{T}{3} . \end{matrix}

(1)

A területképletet felhasználva:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} s_{b} \cdot \frac{2}{3} s_{c} sin δ_{1} = \frac{2}{9} s_{b} s_{c} sin δ_{1}, \\ t_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} s_{a} \cdot \frac{2}{3} s_{c} sin δ_{2} = \frac{2}{9} s_{b} s_{c} sin δ_{2} . \end{matrix}

(1) alapján

\begin{matrix} \frac{2}{9} s_{b} s_{c} sin δ_{1} = \frac{2}{9} s_{a} s_{c} sin δ_{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} s_{b} sin δ_{1} = s_{a} sin δ_{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \frac{s_{a}}{sin δ_{1}} = \frac{s_{b}}{sin δ_{2}} . \end{matrix}

Teljesen hasonlóképpen bizonyítható, hogy

\frac{s_{b}}{sin δ_{2}} = \frac{s_{c}}{sin δ_{3}}

Kardos Péter (Szolnok, 16. sz. gépip. techn. II. o. t.)