Kezdőlap


Feladat:	427. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balatoni F. , Balázs B. , Bálint T. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Biczó G. , Bogisich J. , Bujdosó A. , Csáki E. , Dancs J. , Durst E. , Fáy Gy. , Főző Éva , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Horváth J. , Horváth Mária , Huszár k. , Kántor S. , Kardos P. , Klofszky E. , Kontur L. , Kovács Ferenc , Kovács L. , Lackner Györgyi , Lipka I. , Magyar K. , Marik M. , Mercz Ferenc , Mohos B. , Németh László , Németh Lehel , Pataki Gy. , Pergel F. , Quittner P. , Rácz M. , Reichlin V. , Rejtő P. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Schmidt E. , Szabó J. , Szabó Magdolna , Szekerka P. , Szilágyi Z. , Tahy P. , Tilesch F. , Tomor B. , Vida Piroska , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/november, 94 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 427. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Azt kell kimutatni, hogy $n (n^{2} + 23)$ szorzat ‐ ha $n$ páratlan ‐ mindig osztható 3-mal és 8-cal, mert ebből következik, lévén 3 és 8 relatív prím, hogy $3 \cdot 8 = 24$ -gyel is osztható.
$n$ , mint minden páratlan szám, csak $4 k \pm 1$ alakú lehet, de akkor

\begin{matrix} n^{2} + 23 = {(4 k \pm 1)}^{2} + 23 = 16 k^{2} \pm 8 k + 24 = 8 (2 k^{2} \pm k + 3), \end{matrix}

vagyis szorzatunk osztható 8-cal. Másrészt

n

, mint páratlan szám csakis

3 k

vagy

6 k \pm 1

alakú lehet.
Az első esetben szorzatunk első tényezője osztható 3-mal. A második esetben a második tényező

\begin{matrix} n^{2} + 23 = {(6 k \pm 1)}^{2} + 23 = 36 k^{2} \pm 12 k + 24 \end{matrix}

osztható 3-mal. Mivel

n

-re nézve mindkét esetben minden lehetőséget kimerítettünk tételünket bizonyítottuk.

Mercz Ferenc (Pannonhalmi g. II. o. t.)

II. megoldás: Teljes indukcióval is bizonyíthatunk. Feladatunk szerint

n = 2 k + 1

alakú.

k = 0

, vagyis

a = 1

esetén tételünk igaz, mert

1^{3} + 23 = 24

. Tegyük fel, hogy

k

-ra, vagyis

n = 2 k + 1

-re tételünk igaz, vagyis

\begin{matrix} {(2 k + 1)}^{3} + 23 (2 k + 1) = 8 k^{3} + 12 k^{2} + 52 k + 24 = 24 A, \end{matrix}

ahol

A

egész szám. Megmutatjuk, hogy ez esetben

k + 1

-re, vagyis

n = 2 k + 3

-ra is áll tételünk.

\begin{matrix} {(2 k + 3)}^{3} + 23 (2 k + 3) = 8 k^{3} + 36 k^{2} + 54 k + 27 + 46 k + 69 = 8 k^{3} + 36 k^{2} + 100 k + 96 = \\ = (8 k^{3} + 12 k^{2} + 52 k + 24) + (24 k^{2} + 48 k + 72) = 24 A + 24 (k^{2} + 2 k + 3) . \end{matrix}

Tehát tételünk tényleg igaz

k + 1

-re, ha

k

-ra igaz.

k = 0

-ra, mint láttuk, igaz, tehát igaz

k

minden egész számú értékére, vagyis

n (= 2 k + 1)

minden páratlan értékére.

Németh László (Gyula, Erkel Ferenc g. IV. o. t.)

III. Megoldás:

n^{3} + 23 n = n^{3} + 24 n - n = 24 n + n (n^{2} - 1) = 24 n + (n - 1) n (n + 1)

.
Csak a második tagról kell megmutatni, hogy osztható 24-gyel. Mivel

n

páratlan, azért

n - 1

és

n + 1

két egymásután következő páros szám, tehát egyikük osztható 4-gyel, vagyis szorzatunk osztható 8-cal. Másrészt három egymásután következő szám:

n - 1

n

n + 1

, közül az egyik szükségképpen osztható 3-mal. Mivel 3 és 8 viszonylagos törzsszámok, azért második tagunk 3 és 8 szorzatával, vagyis 24-gyel osztható.

Horváth Mária (Sopron, József Attila lg. III. o. t.)