Kezdőlap


Feladat:	426. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gutay L. , Gyapjas Ferenc
Füzet:	1952/november, 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/március: 426. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A baloldali szorzat mindkét tényezője valós és pozitív (mert $3 \sqrt[]{3} > 5$ ), azért elég kimutatni, hogy a baloldal 6-ik hatványa 1.

\begin{matrix} {(2 + \sqrt[]{3})}^{3} {[\frac{\sqrt[]{2} (3 \sqrt[]{3} - 5)}{2}]}^{2} = (8 + 12 \sqrt[]{3} + 18 + 3 \sqrt[]{3}) \frac{2 (27 - 30 \sqrt[]{3} + 25)}{4} = \\ = (26 + 15 \sqrt[]{3}) (26 - 15 \sqrt[]{3}) = 676 - 225 \cdot 3 = 1. \end{matrix}

Gyapjas Ferenc (Bp. VIII., Széchenyi g. III. o. t).

Megoldotta: Gutay L.

A fenti két megoldó kivételével az összes többi megoldó nem mutatott rá a baloldal pozitív voltára, hanem csak azt bizonyította, hogy a baloldal 6-ik hatványa 1, amitől a baloldalon még

- 1

, vagy komplex szám (

\sqrt[6]{1}

-nek 4 komplex értéke van) is állhatna.

II. megoldás: Szorzatunk első tényezője így alakítható át:

\begin{matrix} \sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}} = \sqrt[]{\frac{4 + 2 \sqrt[]{3}}{2}} = \sqrt[]{\frac{3 + 2 \sqrt[]{3} + 1}{2}} = \sqrt[]{\frac{{(\sqrt[]{3} + 1)}^{2}}{2}} = \frac{\sqrt[]{3} + 1}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

A második tényező pedig így is írható:

\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{\sqrt[]{2} (3 \sqrt[]{3} - 5)}{2}} = \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt[]{2} (6 \sqrt[]{3} - 10)}{8}} = \sqrt[3]{\frac{6 \sqrt[]{3} - 10}{2 \sqrt[]{2}}} = \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt[]{3} - 9 + 3 \sqrt[]{3} - 1}{2 \sqrt[]{2}}} = \\ = \sqrt[3]{\frac{{(\sqrt[]{3} - 1)}^{3}}{{(\sqrt[]{2})}^{3}}} = \frac{\sqrt[]{3} - 1}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Tehát a két tényező szorzata:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{3} + 1}{\sqrt[]{2}} \cdot \frac{\sqrt[]{3} - 1}{\sqrt[]{2}} = \frac{3 - 1}{2} = 1. \end{matrix}