Kezdőlap


Feladat:	423. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argyelán M. , Bakos I. , Balázs B. , Bali Gy. , Bárdos András , Beke Éva és Mária , Celldömölk, Gábor Á. g. szakköre , Csáki E. , Csonka P. , Dancs I. , Deseő Z. , Durst Endre , Főző Éva , Gyurányi B. , Hoffmann S. , Horváth J. , Horváth Mária , Káli F. , Kántor S. , Marik M. , Mina J. , Mód S. , Nagykanizsa, Irányi D. g. szakköre , Németh Gy. , Papp I. , Pataki Gy. , Pataki Gy. , Pataki K. , Rédly E. , Reichlin V. , Rejtő P. , Révész P. , Rockenbauer Magda , Schmidt E. , Sohár P. , Szabó D. , Szathury Éva , Székely L. , Szilágyi Z. , Telkes B. , Telkes Z. , Tilesch F. , Tornyos F. , Tóth G. , Turi I. , Vida Piroska , Zatykó L. , Zobor E.
Füzet:	1952/október, 47 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/február: 423. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek $M$ és $N$ az adott távolság végpontjai és $P$ egy a feltételt teljesítő pont. Bocsássunk $P$ -böl merőlegest az $M N$ egyenesre. A metszéspontot jelöljük $P_{1}$ -gyel. Legyen $P P_{1} = m$ , $M P_{1} = z$ , $P_{1} N = a - z$ , $P M = u$ és $P N = v$ .

A feltétel szerint

u^{2} - v^{2} = k^{2}

(vagy

v^{2} - u^{2} = k^{2}

).
De Pythagoras-tétele alapján

\begin{matrix} u^{2} = m^{2} + z^{2}, \\ v^{2} = m^{2} + a^{2} - 2 a z + z^{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} u^{2} - v^{2} = 2 a z - a^{2} = k^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} z = \frac{a^{2} + k^{2}}{2 a} = \frac{a}{2} + \frac{k^{2}}{2 a} \end{matrix}

Mivel

a

és

k^{2}

megadott mennyiségek, azért

z

(

m

-től független) állandó, vagyis minden

P

pont, melynek merőleges vetülete

P_{1}

, eleget tesz a követelménynek. Tehát a mértani hely (

u > v

esetén) egy

M N

-re merőleges egyenes, melynek talppontja az

M N

felezőpontjától

\frac{k^{2}}{2 a}

távolságnyira van

N

irányában.

\begin{matrix} z < v esetén v^{2} - u^{2} = a^{2} - 2 a z = k^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} z = \frac{a}{2} - \frac{k^{2}}{2 a} \end{matrix}

Tehát az előbbi egyenesnek centrális tükörképe az

M N

felezőpontjára is a mértani helyhez tartozik a feladat szövegezése szerint. Evidens, hogy minden olyan pont, amely nincs rajta ezeken az egyeneseken, nem felelhet meg a feltételeknek.

\begin{matrix} k^{2} = 0 esetén z = \frac{a}{2}, \end{matrix}

és így az

M N

távolság felezőmerőlegese a mértani hely.

Durst Endre (Szolnok, Beloiannisz g. IV. o. t.)

Teljes megoldásnak fogadtuk el azokat a megoldásokat is, amelyek csak egy esetet (

u > v

vagy

u < v

) tárgyaltak.

II. megoldás: Legyen

P

egy pont, melyre nézve

P M^{2} - P N^{2} = k^{2}

. Rajzoljunk

P

körül

P N

sugárral kört, mely az

M N

egyenest az

N

ponton kívül még az

N^{*}

pontban is metszi. (

N^{*}

azonos

N

-nel, ha

k^{2} = a^{2}

és

N^{*}

azonos

M

-mel, ha

k^{2} = 0

M

-ből a körhöz szerkesztett

M T

érintőszakaszra áll, hogy

\begin{matrix} M T^{2} = P M^{2} - P T^{2} = P M^{2} - P N^{2} = k^{2} . \end{matrix}

Mindazon körökre nézve, melyek átmennek az

N

és

N^{*}

pontokon

k^{2}

(

= P M^{2} - P N^{2}

), mint az

M

pont hatványa, állandó.
Ezen körök

P

középpontjainak geometriai helye az

N N^{*}

húr felezőmerőlegese.
(Ha a

P N^{2} - P M^{2} = k^{2}

követelményt vesszük figyelembe, akkor megkapjuk a fentebb említett szimmetrikusan fekvő egyenest.)

Bárdos András (Bp., II., Rákóczi g. I o. t.)