Kezdőlap


Feladat:	422. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakos I. , Csonka P. , Durst E. , Horváth Jenő , Horváth Mária , Pataki K. , Schmidt E. , Szabó D. , Szabó J. , Szekerka P. , Tahy P. , Tilesch F. , Válint Irma , Zatykó L.
Füzet:	1952/október, 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Terület, felszín, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/február: 422. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög területe $t = \frac{1}{2} b c sin α$ . Mivel $sin α$ ismeretes $b c$ -t kell még meghatározni.
A cosinus-tétel alapján

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α, \end{matrix}

(1)

másrészt

\begin{matrix} {(b - c)}^{2} = d^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \end{matrix}

(2)

(1)-ből kivonva (2)-t kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{2} - d^{2} = 2 b c (1 - cos α) = 4 b c sin^{2} \frac{α}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} b c = \frac{a^{2} - d^{2}}{4 sin^{2} \frac{α}{2}} . \end{matrix}

b c

ezen értékét a

t

képletbe helyettesítve:

\begin{matrix} t = \frac{(a^{2} - d^{2}) sin α}{8 sin^{2} \frac{α}{2}} = \frac{(a^{2} - d^{2}) 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}}{8 sin^{2} \frac{α}{2}} = \frac{(a^{2} - d^{2}) cos \frac{α}{2}}{4 sin \frac{α}{2}} = \frac{a^{2} - d^{2}}{4} \cdot ctg\frac{α}{2}. \end{matrix}

Horváth Jenő (Celldömölk, Gábor Á. g. III. o. t.)