Feladat: 421. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bakos I. ,  Biczó S. ,  Durst E. ,  Grätzer Gy. ,  Hoffmann S. ,  Holbok S. ,  Káli F. ,  Kántor S. ,  Klafszky E. ,  Kocsis J. ,  Kovács F. ,  Kovács L. ,  Lackner Györgyi ,  Nagy L. (Győr) ,  Németh L. ,  Radnai K. ,  Reichlin V. ,  Rockenbauer Magda ,  Rozsondai Béla ,  Szabó D. ,  Szabó J. ,  Szabó József ,  Szabó L. ,  Szekerka P. ,  Szilágyi Z. ,  Tilesch F. ,  Tisovszky J. ,  Zobor E. 
Füzet: 1952/október, 46 - 47. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Vetítések, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/február: 421. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat általánosabban fogalmazva: szerkesztendő két adott ponton áthaladó és egy adott egyenest érintő kör. (Az Apollonius-féle 10 érintési feladat egyike. L. IV. kötet 2. szám 49. old. ‐ kidolgozva a gimn. II. o. tankönyvében a hatványvonalról szóló részben).
I. megoldás (mértani középarányossal): Ismeretes, hogy valamely körhöz külső pontból húzott szelő metszeteinek szorzata egyenlő a pontból húzott érintőszakasz négyzetével. Tehát ha P az AD és BC egyenesek metszéspontja és E a keresett kör érintési pontja a BC egyenesen, akkor PE2=PA⋅PD. A PE távolság mint mértani középarányos többféleképpen szerkeszthető. (Derékszögű háromszöggel, vagy mint P hatványa.)

 
 

Az ábrában az AQP Thales-körhen a PQA derékszögű háromszög PQ befogója mértani középarányos PA és PD között. A P-ből húzott PQ sugarú körív metszi ki a BC egyenesből az E1 és E2 érintési pontokat. E pontokban BC-re merőlegest emelve, e merőlegesek és az AD távolságot merőlegesen felező egyenes metszéspontjai (O1 és O2) a keresett körök középpontjai.
 

Rozsondai Béla (Sopron, Széchenyi g. III. o. t.)

 

II. megoldás (hasonlósággal): A keresett kör középpontja rajta van az AD távolságot merőleges felező egyenesen, a keresett kör továbbá érinti a BC egyenest. E két feltételnek végtelen sok kör tesz eleget, melyeknek közös külső hasonlósági pontja az előbbi két egyenes metszéspontja S. E körsereg egy tetszőleges (O középpontú) körének megszerkesztjük az SA egyenessel való metszéspontjait: A1 és A2-t. Az A ponton át az A1O és A2O egyenesekkel húzott párhuzamosak metszik ki az SO centrálisból az O1 és O2 középpontokat (hasonlósági transzformáció).
 

Szabó József (Szolnok, Beloiannisz g. III. o. t.)

 

Legtöbbnyire az A (ill. D) gyújtópont és BC vezéregyenes által meghatározott parabolának és az AD felezőmerőlegesének metszéspontjaival próbálkoztak. Ez a megoldás természetesen elvileg jó, azonban senki sem ,,szerkesztette meg'' a parabolának és az egyenesnek a metszéspontjait, hanem csak ,,megrajzolták''. Ez természetesen nem fogadható el. (A parabolának ugyanis csak véges számú pontját tudjuk megszerkeszteni.)