Feladat: 420. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Argyelán M. ,  Bali Gy. ,  Bárdos A. ,  Biczó G. ,  Bogosich F. ,  Bujdosó A. ,  Csaba L. ,  Csáki E. ,  Csertán F. ,  Csonka S. ,  Dallos L. ,  Dancs I. ,  Deseő Z. ,  Durst E. ,  Fáy Gy. ,  Főző Éva ,  Fuchs T. ,  Földeák M. ,  Grätzer Gy. ,  Hoffmann S. ,  Huszár k. ,  Káli F. ,  Kántor S. ,  Keresztély Noémi ,  Keszei J. ,  Kézdy P. ,  Klafszky E. ,  Kocsis J. ,  Kristóf T. ,  Marik M. ,  Mina J. ,  Morva A. ,  Nagy L. ,  Németh Gy. ,  Németh L. ,  Németh P. ,  Papp I. ,  Praveczki E. ,  Rédly E. ,  Reichlin V. ,  Révész P. ,  Rockenbauer Magda ,  Rozsondai B. ,  Sipka I. ,  Sohár P. ,  Solymár K. ,  Szabó D. ,  Szabó J. ,  Székely L. ,  Szekerka P. ,  Tahy P. ,  Tilesch Ferenc ,  Tomor B. ,  Zobor E. 
Füzet: 1952/október, 45 - 46. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Többszemélyes véges játékok, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1952/február: 420. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen A a kezdő fél. Ha A utoljára 8 gyufát hagy ellenfelének. vagyis a 92-ik gyufát ő veszi fel és itt megáll, akkor biztosította magának a 100-ikat is. Ugyanúgy, ha előzőleg a 84-ik gyufa felvételénél áll meg, akkor biztosította magának a 92-iket és így a 100-ikat is. Látható, hogy A biztosan nyer ha mindig 8-cal osztható számú gyufát hagy az asztalon. 100-at 8-cal osztva, a maradék 4. Tehát A biztosan nyer, ha először 4-et vesz, aztán pedig mindig 8-ra egészíti a B által húzott gyufák számát. Ha ezt az előírást csak egyszer is elvéti, akkor a kezdés előnyét átadta B-nek és az nyerhet az előbbi módon.

 

Tilesch Ferenc (Esztergom, I. István g. III. o. t.)
 

II. megoldás: A feladatot általánosítjuk. Legyen az asztalon n szál gyufa és az egyszerre húzható gyufák száma legyen legalább 1 és legfeljebb m.(m≥1). Elosztjuk n-et az (m+1) számmal, a maradék a 0,1,2,..., m-számok valamelyike, mondjuk r. Ha r≠0, akkor r számú gyufát elvéve, az asztalon maradt gyufák száma osztható (m+1)-gyel. Tehát a játékot kezdő A ebben az esetben biztosan nyer, ha először r darabot vesz el, és ha ezután a B által vett gyufák számát mindig (m+1)-re egészíti ki. Ez esetben az asztalon maradt gyufák száma végigfut az (m+1)-gyel osztható számokon lefelé, tehát egyszer A húzása után éppen 0 lesz. ‐ Ha r=0, akkor B egészíti ki mindig (m+1)-re az A által húzott gyufák számát és így ő nyer. ‐ Tehát mindkét fél helyes játéka esetén a kezdő akkor és csak akkor nyer, ha n nem osztható (m+1)-gyel.
Jelen feladatunkban n=100, m=7 és így r=4.