Kezdőlap


Feladat:	417. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argyelán M. , Bakos I. , Balatoni F. , Celldömölk, Gábor Á. g. szakköre , Csonka P. , Dancs I. , Durst E. , Hoffmann S. , Horváth Mária , Keszei J. , Kocsis J. , Magyary-Kossa M. , Nagykanizsa, Irányi D. g. szakköre , Rejtő P. , Schmidt E. , Sohár P. , Szabó D. , Szekerka P. , Szilágyi Z. , Tilesch F. , Tisovszky J. , Vida Piroska , Zobor E.
Füzet:	1952/október, 42 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1952/február: 417. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Két pozitív szám akkor és csak akkor egyenlő, ha logaritmusuk egyenlő. Vesszük mindkét oldal 10-alapú logaritmusát:

\begin{matrix} lg x (lg x - lg 2) = 4 + lg 4, \\ {(lg x)}^{2} - lg 2 \cdot lg x - (4 + 2 lg 2) = 0. \end{matrix}

Ez másodfokú egyenlet

lg x

-re, amiből

\begin{matrix} lg x = \frac{lg 2 \pm \sqrt[]{{(lg 2)}^{2} + 8 lg 2 + 16}}{2} = \frac{lg 2 \pm (lg 2 + 4)}{2} \\ lg x_{1} = \frac{2 lg 2 + 4}{2} = lg 2 + 2, \\ lg x_{2} = \frac{- 4}{2} = - 2. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x_{1} & = 10^{2 + lg^{2}} = 10^{2} \cdot 10^{lg 2} = 100 \cdot 2 = 200. \\ x_{2} & = 10^{- 2} = \frac{1}{100} . \end{matrix}

II. megoldás: A

lg

x

-re kapott másodfokú egyenletet átalakítjuk:

\begin{matrix} {(lg x)}^{2} - 4 - lg 2 \cdot lg x - 2 lg 2 = 0, \\ (lg x + 2) (lg x - 2) - lg 2 (lg x + 2) = 0. \\ (lg x + 2) -t kiemelve : \end{matrix}

\begin{matrix} (lg x + 2) (lg x - 2 - lg 2) = 0 \end{matrix}

De egy szorzat csak akkor 0, ha egyik tényezője 0. Tehát

\begin{matrix} lg x_{1} = 2 + lg 2, amiből x_{1} = 200 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} lg x_{2} = - 2, amiből x_{2} = \frac{1}{100} \end{matrix}

III. megoldás: Tegyünk

x

helyéhe

10^{y}

-t.

\begin{matrix} {(\frac{10^{y}}{2})}^{y} & = 4 \cdot 10^{4}, \\ \frac{10^{y^{2}}}{2^{y}} & = 2^{2} \cdot 10^{4}, \\ \frac{10^{y^{2}}}{10^{4}} & = 2^{y} \cdot 2^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 10^{y^{2} - 4} & = 2^{y + 2} \\ {(10^{y - 2})}^{y + 2} & = 2^{y + 2} \end{matrix}

Két pozitív szám (

y + 2

)-edik hatványa egyenlő:
1. ha az alapok egyenlők, vagy
2. ha a kitevő 0.
Innen.

\begin{matrix} 10^{y - 2} = 2, \frac{10^{y}}{10^{2}} = 2, x_{1} = 10^{y} = 200 \end{matrix}

és

\begin{matrix} y + 2 = 0, y_{2} = - 2, x_{2} = 10^{- 2} = \frac{1}{100} \end{matrix}