Kezdőlap


Feladat:	412. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dancs I. , Durst E. , Kántor Sándor , Pergel J. , Rejtő P. , Szabó J. , Zatykó L.
Füzet:	1952/május, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Teljes indukció módszere, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 412. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A tételt teljes indukcióval bizonyítjuk.
Ha $n = 1$ , a tétel igaz, mert így szól $sin φ = \frac{sin^{2} φ}{sin φ}$ .
Feltéve, hogy igaz $n = k$ -ra, bebizonyítjuk, hogy igaz $n = k + 1$ -re is.
Ha $n$ értéke $k$ -ról $k + 1$ -re nő, az (1) kifejezés baloldalán egy taggal lesz több, ez a tag: $sin (2 k + 1) φ$ . A jobboldal pedig $\frac{sin^{2} k φ}{sin φ}$ -ről $\frac{sin^{2} (k + 1) φ}{sin φ}$ -re változik. Bizonyítandó tehát, hogy

\begin{matrix} sin (2 k + 1) φ = \frac{sin^{2} (k + 1) φ}{sin φ} - \frac{sin^{2} k φ}{sin φ} \end{matrix}

(2)

Alkalmazzuk a következő jelölést

(k + 1) φ = α

k φ = β

.

Ezután (2) ilyen alakú lesz:

\begin{matrix} sin (α + β) = \frac{sin^{2} α - sin^{2} β}{sin (α - β)} \end{matrix}

Ez pedig azonosság, ami rövid számítással kiderül, ha

sin (α + β)

-t és

sin (α - β)

-t az ismert módon kifejezzük

α

és

β

szögfüggvényeivel. Ugyanis

\begin{matrix} sin (α + β) \cdot sin (α - β) = sin^{2} α cos^{2} β - cos^{2} α sin^{2} β = \\ = sin^{2} α (1 - sin^{2} β) - (1 - sin^{2} α) sin^{2} β = sin^{2} α - sin^{2} β . \end{matrix}

II. megoldás: Szorozzuk mindkét oldalt

2 sin φ

-vel, a baloldal lesz:

\begin{matrix} 2 sin φ sin φ + 2 sin φ sin 3 φ + 2 sin φ sin 5 φ + ... + \\ + 2 sin φ sin (2 n - 1) φ . \end{matrix}

Az ismert

cos α - cos β = 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{β - α}{2}

képlet alapján ez a kifejezés így írható:

\begin{matrix} + [cos 2 φ - cos 4 φ] + ... + \\ + [cos (2 n - 2) φ - cos 2 n φ] = cos 0 - cos 2 n φ = \\ = 2 sin n φ sin n φ = 2 sin^{2} n φ . \end{matrix}

Ezt kellett bizonyítani.

Kántor Sándor (Debrecen, Ref. Koll. gimn. III. o. t.)